Determine o vértice, o parâmetro, o foco e a equação da diretriz da parábola cuja equação é:
(y-3)^2=-4 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre parábolas! A gente tem a equação (y - 3)^2 = -4x e precisa descobrir algumas coisas importantes: o vértice, o parâmetro, o foco e a equação da diretriz dessa parábola. Para isso, vamos usar conceitos básicos de geometria analítica relacionados às parábolas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vértice da parábola. A fórmula geral da parábola que abre para a esquerda ou direita é (y - k)^2 = 4p(x - h), onde (h, k) é o vértice. Comparando com a nossa equação (y - 3)^2 = -4x, percebemos que h = 0 e k = 3. Então, o vértice é o ponto (0, 3).

Passo 3

Agora, vamos determinar o parâmetro p. Na fórmula geral, o coeficiente de x é 4p. Na nossa equação, esse coeficiente é -4. Então, temos:
4p = -4
p = -1
Isso significa que o parâmetro p é -1. O sinal negativo indica que a parábola abre para a esquerda.

Passo 4

Com o parâmetro p encontrado, podemos achar o foco da parábola. O foco está localizado a uma distância p do vértice na direção para a qual a parábola abre. Como p = -1 e a parábola abre para a esquerda, o foco fica 1 unidade à esquerda do vértice. Então:
Foco = (h + p, k) = (0 - 1, 3) = (-1, 3)

Passo 5

Por fim, vamos encontrar a equação da diretriz. A diretriz é uma linha reta que fica a uma distância |p| do vértice, na direção oposta à abertura da parábola. Como p = -1, a diretriz estará 1 unidade à direita do vértice. Então, a equação da diretriz é:
x = h - p = 0 - (-1) = 1
Ou seja, a diretriz é a reta x = 1.

Resposta

  • Vértice: (0, 3)
  • Parâmetro: p = -1
  • Foco: (-1, 3)
  • Equação da diretriz: x = 1

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