Um afinador estica os fios de aço do piano com tensão igual a 800 N . O comprimento do fio é igual a
e sua massa é igual a
. (a) Qual é a frequência do modo fundamental de vibração do fio? (b) Qual é o número de harmônicos superiores que podem ser ouvidos por uma pessoa capaz de ouvir frequências de até 10.000 Hz ?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um fio de aço esticado com uma certa tensão, comprimento e massa. Vamos precisar usar conceitos de ondas em cordas, especialmente a fórmula para a frequência fundamental. Então, vamos precisar saber sobre tensão, comprimento do fio, densidade linear e a fórmula básica das ondas em cordas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a densidade linear (µ) do fio, que é a massa por unidade de comprimento. A massa do fio é 3,0 g, que precisamos converter para quilogramas: 3,0 g = 0,003 kg. O comprimento do fio é 0,4 m. Então, µ = massa / comprimento = 0,003 kg / 0,4 m = 0,0075 kg/m.
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula para a frequência fundamental (f1) de uma corda esticada:
Onde:
- L é o comprimento do fio,
- T é a tensão,
- µ é a densidade linear.
Passo 4
Substituindo os valores que temos na fórmula:
Primeiro calculamos o denominador: 2 × 0,4 = 0,8.
Passo 5
Agora, calculamos o que está dentro da raiz:
Então:
Passo 6
Calculando a raiz quadrada:
Então:
Passo 7
Agora, para a parte (b), precisamos encontrar quantos harmônicos superiores estão abaixo de 10.000 Hz. Lembrando que os harmônicos têm frequências múltiplas da fundamental:
Onde n é o número do harmônico.
Passo 8
Queremos encontrar o maior n tal que
Hz:
Passo 9
Como n deve ser inteiro, o maior valor possível é 24. Então, o número de harmônicos superiores que podem ser ouvidos é 24.
Resposta
Podem ser ouvidos 24 harmônicos superiores por uma pessoa capaz de perceber até 10.000 Hz.