Um afinador estica os fios de aço do piano com tensão igual a 800 N . O comprimento do fio é igual a 0,4 m e sua massa é igual a 3,0 g. (a) Qual é a frequência do modo fundamental de vibração do fio? (b) Qual é o número de harmônicos superiores que podem ser ouvidos por uma pessoa capaz de ouvir frequências de até 10.000 Hz ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um fio de aço esticado com uma certa tensão, comprimento e massa. Vamos precisar usar conceitos de ondas em cordas, especialmente a fórmula para a frequência fundamental. Então, vamos precisar saber sobre tensão, comprimento do fio, densidade linear e a fórmula básica das ondas em cordas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a densidade linear (µ) do fio, que é a massa por unidade de comprimento. A massa do fio é 3,0 g, que precisamos converter para quilogramas: 3,0 g = 0,003 kg. O comprimento do fio é 0,4 m. Então, µ = massa / comprimento = 0,003 kg / 0,4 m = 0,0075 kg/m.

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula para a frequência fundamental (f1) de uma corda esticada:
f1 = 12L raizTmu
Onde:
  • L é o comprimento do fio,
  • T é a tensão,
  • µ é a densidade linear.

Passo 4

Substituindo os valores que temos na fórmula:
f1 = 12 times 0,4 raiz8000,0075
Primeiro calculamos o denominador: 2 × 0,4 = 0,8.

Passo 5

Agora, calculamos o que está dentro da raiz:
8000,0075 approx 106666,67
Então:
f1 = 10,8 raiz106666,67

Passo 6

Calculando a raiz quadrada:
raiz106666,67 approx 326,6
Então:
f1 = 10,8 times 326,6 approx 408,25 Hz

Passo 7

Agora, para a parte (b), precisamos encontrar quantos harmônicos superiores estão abaixo de 10.000 Hz. Lembrando que os harmônicos têm frequências múltiplas da fundamental:
fn = n times f1
Onde n é o número do harmônico.

Passo 8

Queremos encontrar o maior n tal que n times 408,25 <= 10.000 Hz:
n <= 10.000408,25 approx 24,49

Passo 9

Como n deve ser inteiro, o maior valor possível é 24. Então, o número de harmônicos superiores que podem ser ouvidos é 24.

Resposta

Podem ser ouvidos 24 harmônicos superiores por uma pessoa capaz de perceber até 10.000 Hz.

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