Uma partícula se movimenta sob a ação de uma força central do tipo F=r F(r).
d) Mostre que
m r^2 dottheta=L
com L constante.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos uma partícula que está se movendo sob a ação de uma força central, ou seja, uma força que sempre aponta para ou se afasta do centro da trajetória, e sua magnitude depende apenas da distância r da partícula ao centro. O conteúdo que vamos usar aqui é o de movimento em coordenadas polares e conservação do momento angular. Para resolver isso, precisamos lembrar como expressar a força e o movimento em coordenadas polares e aplicar conceitos de física sobre momento angular.

Passo 2

Vamos começar descrevendo a posição da partícula usando coordenadas polares (r, theta), onde r é a distância ao centro e theta é o ângulo em relação a um eixo de referência. Em coordenadas polares, a velocidade da partícula tem duas componentes: radial ( dotr) e angular ( r dottheta).

Passo 3

A força central dada é F = r F(r), o que significa que a força atua apenas na direção radial e sua magnitude depende de r. Não há força na direção angular. Isso é importante porque implica que não há torque sobre a partícula na direç��o angular.

Passo 4

Vamos lembrar que o momento angular L de uma partícula é dado pelo produto vetorial da posição pela quantidade de movimento:
L = r times p
onde p = m v é a quantidade de movimento.

Passo 5

Em coordenadas polares, o momento angular na direção perpendicular ao plano de movimento (digamos, eixo z) é:
L = m r^2 dottheta
Isso vem da definição de L e considerando que apenas a componente angular da velocidade contribui para o momento angular.

Passo 6

Como a força é central, ela não exerce torque sobre a partícula, ou seja, não muda o momento angular. Portanto, o momento angular L é conservado ao longo do tempo, o que significa que L é uma constante.

Resposta

Concluímos que:
m r^2 dottheta = L
com L constante.

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