Uma partícula se movimenta sob a ação de uma força central do tipo
.
d) Mostre que
com
constante.
d) Mostre que
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos uma partícula que está se movendo sob a ação de uma força central, ou seja, uma força que sempre aponta para ou se afasta do centro da trajetória, e sua magnitude depende apenas da distância
da partícula ao centro. O conteúdo que vamos usar aqui é o de movimento em coordenadas polares e conservação do momento angular. Para resolver isso, precisamos lembrar como expressar a força e o movimento em coordenadas polares e aplicar conceitos de física sobre momento angular.
Passo 2
Vamos começar descrevendo a posição da partícula usando coordenadas polares
, onde
é a distância ao centro e
é o ângulo em relação a um eixo de referência. Em coordenadas polares, a velocidade da partícula tem duas componentes: radial (
) e angular (
).
Passo 3
A força central dada é
, o que significa que a força atua apenas na direção radial e sua magnitude depende de
. Não há força na direção angular. Isso é importante porque implica que não há torque sobre a partícula na direç��o angular.
Passo 4
Vamos lembrar que o momento angular
de uma partícula é dado pelo produto vetorial da posição pela quantidade de movimento:
onde
é a quantidade de movimento.
Passo 5
Em coordenadas polares, o momento angular na direção perpendicular ao plano de movimento (digamos, eixo
) é:
Isso vem da definição de
e considerando que apenas a componente angular da velocidade contribui para o momento angular.
Passo 6
Como a força é central, ela não exerce torque sobre a partícula, ou seja, não muda o momento angular. Portanto, o momento angular
é conservado ao longo do tempo, o que significa que
é uma constante.
Resposta
Concluímos que:
com
constante.