Uma grande azeitona ( m=0,50 kg ) está na origem de um sistema de coordenadas x y, e uma grande castanha-do-pará ( M=1,5 kg ) está no ponto (1,0 ; 2,0) m. Em t=0, uma força Fo=(2,0 i+3,0 j) N começa a agir sobre a azeitona, e uma força Fn=(-3,0 i-2,0 j) N começa a agir sobre a castanha. Na notação dos vetores unitários, qual é o deslocamento do centro de massa do sistema azeitona-castanha em t=4,0 s em relação à posição em t=0 ?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma azeitona de massa m = 0,50, kg na origem de um sistema de coordenadas xy e uma castanha-do-pará de massa M = 1,5, kg no ponto (1,0; 2,0), m. Azeitona recebe uma força Fo = (2,0, i + 3,0, j), N e a castanha recebe uma força Fn = (-3,0, i - 2,0, j), N a partir do tempo t=0. Queremos achar o deslocamento do centro de massa desse sistema após t = 4,0, s. Para resolver, vamos precisar conhecer conceitos de centro de massa, força resultante e movimento resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o centro de massa inicial do sistema. O centro de massa ( R) é dado por:
R = m rm + M rMm + M
Como a azeitona está na origem, rm = (0,0), m, e a castanha está em (1,0; 2,0), m. Então:
R0 = 0,50 times (0,0) + 1,5 times (1,0; 2,0)0,50 + 1,5 = (0,0) + (1,5; 3,0)2,0 = (1,52,0, 3,02,0) = (0,75; 1,5), m

Passo 3

Agora, vamos encontrar a força resultante no sistema. A força total Ftotal é a soma das forças aplicadas nas duas massas:
Ftotal = Fo + Fn = (2,0, i + 3,0, j) + (-3,0, i - 2,0, j) = (-1,0, i + 1,0, j), N

Passo 4

Com a força total, podemos calcular a aceleração do centro de massa usando a segunda lei de Newton para o sistema:
Ftotal = (m + M) a
Então:
a = Ftotalm + M = (-1,0, i + 1,0, j)2,0 = (-0,5, i + 0,5, j), m/s^2

Passo 5

Agora, vamos calcular o deslocamento do centro de massa após t = 4,0, s. Sabemos que, partindo do repouso, o deslocamento ( d) é dado por:
d = 12 a t^2
Substituindo os valores:
d = 12 times (-0,5, i + 0,5, j) times (4,0)^2 = 12 times (-0,5, i + 0,5, j) times 16 = 12 times (-8, i + 8, j) = (-4, i + 4, j), m

Resposta

O deslocamento do centro de massa do sistema em t = 4,0, s é d = (-4, i + 4, j), m.

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