Para o projétil do problema 2,
c) Para o caso
, use aproximações sucessivas para mostrar que
sendo
uma estimativa para o alcance do projétil.
c) Para o caso
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre o alcance de um projétil. A gente está trabalhando com Física, mais especificamente com o movimento de projéteis considerando resistência do ar. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas aproximações e trabalhar com equações de movimento. Nosso objetivo é encontrar uma estimativa para o alcance
do projétil quando a resistência do ar é pequena, ou seja, quando
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o alcance de um projétil sem resistência do ar é dado por:
Aqui,
é a velocidade inicial na direção horizontal,
é a velocidade inicial na direção vertical, e
é a aceleração da gravidade. Esse é o nosso ponto de partida.
Passo 3
Agora, como temos resistência do ar, representada pelo termo
, vamos considerar que essa resistência afeta a velocidade horizontal do projétil. A força de resistência é proporcional à velocidade, então a equação de movimento na direção
fica:
Essa é uma equação diferencial que descreve como a velocidade horizontal diminui com o tempo devido à resistência do ar.
Passo 4
Vamos resolver essa equação diferencial. Separando as variáveis e integrando, temos:
Integrando, obtemos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Exponenciando ambos os lados para resolver para
:
Aqui,
é a velocidade inicial na direção horizontal.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a posição horizontal
integrando a velocidade:
Integrando, obtemos:
Passo 7
Para encontrar o alcance
, precisamos saber o tempo total de voo
do projétil. No movimento vertical, considerando que o projétil sobe e desce com resistência do ar, o tempo de voo pode ser aproximadamente
quando
é muito pequeno.
Passo 8
Substituindo
na expressão de
, temos:
Como
, podemos usar a aproximação de Taylor
para
pequeno.
Passo 9
Aplicando essa aproximação:
Onde
. Substituindo de volta:
Simplificando:
Resposta
Portanto, a estimativa para o alcance do projétil é: