Para o projétil do problema 2,
c) Para o caso b x / m vx 0<<1, use aproximações sucessivas para mostrar que
xA simeq 2 vz 0 vx 0g-8 b vz 0^2 vx 03 m g^2
sendo xA uma estimativa para o alcance do projétil.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre o alcance de um projétil. A gente está trabalhando com Física, mais especificamente com o movimento de projéteis considerando resistência do ar. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas aproximações e trabalhar com equações de movimento. Nosso objetivo é encontrar uma estimativa para o alcance do projétil quando a resistência do ar é pequena, ou seja, quando .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o alcance de um projétil sem resistência do ar é dado por:
x = 2 vz0 vx0g
Aqui, é a velocidade inicial na direção horizontal, é a velocidade inicial na direção vertical, e é a aceleração da gravidade. Esse é o nosso ponto de partida.

Passo 3

Agora, como temos resistência do ar, representada pelo termo m dvxdt = -b vx , vamos considerar que essa resistência afeta a velocidade horizontal do projétil. A força de resistência é proporcional à velocidade, então a equação de movimento na direção fica:
Essa é uma equação diferencial que descreve como a velocidade horizontal diminui com o tempo devido à resistência do ar.

Passo 4

Vamos resolver essa equação diferencial. Separando as variáveis e integrando, temos:
integral dvxvx = -bm integral dt
Integrando, obtemos:
ln vx = -bm t + C
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Exponenciando ambos os lados para resolver para vx = vx0 e^-bm t :
Aqui, é a velocidade inicial na direção horizontal.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a posição horizontal x(t) = integral vx dt = integral vx0 e^-bm t dt integrando a velocidade:
x(t) = m vx0b (1 - e^-bm t)
Integrando, obtemos:

Passo 7

Para encontrar o alcance , precisamos saber o tempo total de voo do projétil. No movimento vertical, considerando que o projétil sobe e desce com resistência do ar, o tempo de voo pode ser aproximadamente quando é muito pequeno.

Passo 8

Substituindo xA approx m vx0b (1 - e^-bm cdot 2 vz0g) na expressão de , temos:
Como , podemos usar a aproximação de Taylor para pequeno.

Passo 9

Aplicando essa aproximação:
1 - e^-y approx y - y^22
Onde xA approx m vx0b ( 2 b vz0m g - 2 b vz0m g^2 ) . Substituindo de volta:
xA approx 2 vz0 vx0g - 8 b vz0^2 vx03 m g^2
Simplificando:

Resposta

Portanto, a estimativa para o alcance do projétil é:
xA simeq 2 vz0 vx0g - 8 b vz0^2 vx03 m g^2

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