O que afirma o Teorema do Confronto?
Passo 1
Então, a gente está vendo o que o “Teorema do Confronto” afirma, né? Esse é um conceito importante dentro da Matemática, especialmente em Cálculo, onde a gente precisa analisar se certas sequências, séries ou integrais convergem ou divergem. Para entender isso, vamos precisar saber como comparar funções ou sequências para tirar conclusões sobre seu comportamento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “convergir” ou “divergir”. Uma sequência ou série converge se ela se aproxima de um valor específico à medida que avança. Já diverge se não se aproxima de nenhum valor fixo. O Teorema do Confronto, ou Teorema da Comparação, nos ajuda a determinar isso comparando com algo que já sabemos se comporta bem.
Passo 3
Basicamente, o Teorema do Confronto diz que se a gente tem duas funções, digamos
e
, e sabemos que
para todo
em algum intervalo, então podemos usar essa relação para entender o comportamento de
. Por exemplo, se
tem uma integral que sabemos que converge, e
é sempre menor ou igual a
, então a integral de
também converge.
Passo 4
Para aplicar isso na prática, a gente identifica uma função comparadora
que seja mais fácil de analisar. Se a integral de
converge e
está sempre abaixo de
, concluímos que a integral de
também converge. O mesmo vale para séries: se cada termo da série a ser testada é menor ou igual ao termo correspondente de uma série que sabemos convergir, então a série original também converge.
Passo 5
É importante lembrar que essa comparação só funciona em certas condições, como quando as funções são não-negativas e estamos em um intervalo onde a relação
se mantém. Além disso, o teorema também tem uma versão para quando
é maior ou igual a
, ajudando a determinar divergência.
Resposta
O Teorema do Confronto afirma que, se uma função
está sempre abaixo ou acima de uma função
cuja convergência ou divergência já é conhecida, então a integral (ou série) de
também converge ou diverge respectivamente. Basicamente, ele permite comparar funções para determinar o comportamento de suas integrais ou séries com base em funções comparadoras mais simples.
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© Propriedade do Múltiplo
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©
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(d)
(d)
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