O que afirma o Teorema do Confronto?

Passo 1

Então, a gente está vendo o que o “Teorema do Confronto” afirma, né? Esse é um conceito importante dentro da Matemática, especialmente em Cálculo, onde a gente precisa analisar se certas sequências, séries ou integrais convergem ou divergem. Para entender isso, vamos precisar saber como comparar funções ou sequências para tirar conclusões sobre seu comportamento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “convergir” ou “divergir”. Uma sequência ou série converge se ela se aproxima de um valor específico à medida que avança. Já diverge se não se aproxima de nenhum valor fixo. O Teorema do Confronto, ou Teorema da Comparação, nos ajuda a determinar isso comparando com algo que já sabemos se comporta bem.

Passo 3

Basicamente, o Teorema do Confronto diz que se a gente tem duas funções, digamos e , e sabemos que para todo em algum intervalo, então podemos usar essa relação para entender o comportamento de . Por exemplo, se tem uma integral que sabemos que converge, e é sempre menor ou igual a , então a integral de também converge.

Passo 4

Para aplicar isso na prática, a gente identifica uma função comparadora que seja mais fácil de analisar. Se a integral de converge e está sempre abaixo de , concluímos que a integral de também converge. O mesmo vale para séries: se cada termo da série a ser testada é menor ou igual ao termo correspondente de uma série que sabemos convergir, então a série original também converge.

Passo 5

É importante lembrar que essa comparação só funciona em certas condições, como quando as funções são não-negativas e estamos em um intervalo onde a relação se mantém. Além disso, o teorema também tem uma versão para quando é maior ou igual a , ajudando a determinar divergência.

Resposta

O Teorema do Confronto afirma que, se uma função está sempre abaixo ou acima de uma função cuja convergência ou divergência já é conhecida, então a integral (ou série) de também converge ou diverge respectivamente. Basicamente, ele permite comparar funções para determinar o comportamento de suas integrais ou séries com base em funções comparadoras mais simples.

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