Quais das curvas a seguir têm assíntotas verticais? E horizontais?
(d) y = tg^(-1)(x)

Passo 1

Vamos dar uma olhada na questão: queremos saber se a curva tem assíntotas verticais ou horizontais. Para resolver isso, vamos precisar entender quais são as assíntotas e como identificar cada tipo em uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que são assíntotas. Assíntotas são linhas que a curva de uma função se aproxima cada vez mais, mas nunca toca. Existem dois tipos principais de assíntotas que vamos considerar:
  • Assíntotas verticais: São linhas paralelas ao eixo y, do tipo , onde a função tende para mais infinito ou menos infinito conforme se aproxima de .
  • Assíntotas horizontais: São linhas paralelas ao eixo x, do tipo , onde a função se aproxima de quando tende para mais ou menos infinito.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função , que é a função arco-tangente. Essa função está definida para todos os valores reais de , o que significa que não há valores de que fazem a função não existir ou que a tirariam para o infinito. Por isso, não há assíntotas verticais.

Passo 4

Em seguida, vamos verificar as assíntotas horizontais. Para isso, observamos o comportamento da função quando tende para mais infinito ( ) e para menos infinito ( ).
  • Quando tende para , se aproxima de .
  • Quando tende para , se aproxima de .
Isso significa que temos duas assíntotas horizontais: uma acima da função e outra abaixo.

Resposta

A curva não possui assíntotas verticais, mas tem duas assíntotas horizontais: e .

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