A afirmação
lim x x0[f(x)-f(x0)]=0 Rightarrow f contínua em x0 í
é verdadeira ou falsa? Caso seja verdadeira, prove-a. Caso seja falsa, exiba um contraexemplo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está nos pedindo para verificar se a afirmação
lim x x0[f(x)-f(x0)]=0 Rightarrow f contínua em x0 í
é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, precisamos provar; se for falsa, mostrar um contraexemplo. Para isso, vamos precisar entender bem os conceitos de limite e continuidade de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o limite de uma função em um ponto. Dizemos que
limx x0 f(x) = L
se, ao nos aproximarmos de , os valores de ficam cada vez mais próximos de .
Agora, a continuidade de uma função em um ponto significa que três coisas acontecem simultaneamente:
  1. está definida.
  2. existe.
  3. .
Ou seja, a função não tem “saltos” ou “buracos” naquele ponto.

Passo 3

Vamos analisar a afirmação dada:
lim x x0[f(x)-f(x0)]=0
Isso significa que, ao nos aproximarmos de lim x x0 f(x) - f(x0) = 0 , a diferença entre lim x x0 f(x) = f(x0) e tende a zero. Podemos reescrever essa expressão assim:
Isso implica que:
E exatamente isso é a definição de continuidade da função no ponto . Portanto, se essa condição é satisfeita, a função é contínua em .

Resposta

A afirmação é verdadeira; é contínua em .

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