A afirmação
é verdadeira ou falsa? Caso seja verdadeira, prove-a. Caso seja falsa, exiba um contraexemplo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está nos pedindo para verificar se a afirmação
é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, precisamos provar; se for falsa, mostrar um contraexemplo. Para isso, vamos precisar entender bem os conceitos de limite e continuidade de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa o limite de uma função em um ponto. Dizemos que
se, ao nos aproximarmos de
, os valores de
ficam cada vez mais próximos de
.
Agora, a continuidade de uma função em um ponto
significa que três coisas acontecem simultaneamente:
-
está definida. -
existe. -
.
Ou seja, a função não tem “saltos” ou “buracos” naquele ponto.
Passo 3
Vamos analisar a afirmação dada:
Isso significa que, ao nos aproximarmos de
, a diferença entre
e
tende a zero. Podemos reescrever essa expressão assim:
Isso implica que:
E exatamente isso é a definição de continuidade da função
no ponto
. Portanto, se essa condição é satisfeita, a função é contínua em
.
Resposta
A afirmação é verdadeira;
é contínua em
.
Exercícios relacionados
Calcule, caso exista, o limite em cada um dos itens abaixo. Caso não exista, justifique.
(d) .
(d)
Seja
(b) Calcule .
(b) Calcule
Encontre a derivada das funçõs:
Encontre a derivada das funçõs: