A afirmação
í
é verdadeira ou falsa? Caso seja verdadeira, prove-a. Caso seja falsa, exiba um contraexemplo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está nos pedindo para verificar se a afirmação
í
é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, precisamos provar; se for falsa, mostrar um contraexemplo. Para isso, vamos precisar entender bem os conceitos de limite e continuidade de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o limite de uma função em um ponto. Dizemos que
se, ao nos aproximarmos de , os valores de ficam cada vez mais próximos de .
Agora, a continuidade de uma função em um ponto significa que três coisas acontecem simultaneamente:
  1. está definida.
  2. existe.
  3. .
Ou seja, a função não tem “saltos” ou “buracos” naquele ponto.

Passo 3

Vamos analisar a afirmação dada:
Isso significa que, ao nos aproximarmos de , a diferença entre e tende a zero. Podemos reescrever essa expressão assim:
Isso implica que:
E exatamente isso é a definição de continuidade da função no ponto . Portanto, se essa condição é satisfeita, a função é contínua em .

Resposta

A afirmação é verdadeira; é contínua em .

Exercícios relacionados

Calcule, caso exista, o limite em cada um dos itens abaixo. Caso não exista, justifique.
(d) .
Seja
(b) Calcule .
Encontre a derivada das funçõs:
Encontre a derivada das funçõs: