Das afirmações abaixo: justifique se for verdadeira, dê um contra-exemplo caso for falsa. © (F) Se
então
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na afirmação que a gente tem aqui. A afirmação diz que se
é igual à soma de
e
, ou seja,
, então o módulo (ou tamanho) de
é igual à soma dos módulos de
e
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial, especificamente a regra do paralelogramo e a desigualdade triangular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o módulo de um vetor
é basicamente o seu comprimento, representado por
. Quando somamos dois vetores,
, o resultado
depende da direção e do sentido dos vetores
e
.
Passo 3
A gente sabe que, em geral,
não é necessariamente igual a
. Isso acontece porque o ângulo entre
e
afeta o resultado da soma. A igualdade
só ocorre quando os vetores estão na mesma direção e sentido, ou seja, quando eles são paralelos e apontam para o mesmo lado.
Passo 4
Para provar que a afirmação é falsa, vamos pensar em um exemplo onde a igualdade não se sustenta. Imagine que
e
sejam vetores com a mesma magnitude, mas apontando em direções opostas. Por exemplo,
tem módulo 3 e vai para a direita, enquanto
também tem módulo 3, mas vai para a esquerda.
Passo 5
Nesse caso, ao somar
e
, a gente tem:
Como
e
estão em direções opostas, a soma deles resulta em um vetor
com módulo zero, ou seja,
.
Passo 6
Por outro lado, somando os módulos:
Claramente,
, então a igualdade
não se sustenta nesse caso.
Resposta
A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é quando
e
têm a mesma magnitude mas estão em direções opostas, resultando em
.
Exercícios relacionados
Escreva a equação do plano paralelo ao eixo
e que passa pelos pontos
e
.
Das afirmações abaixo: justifique se for verdadeira, dê um contra-exemplo caso for falsa. (a) (V) Se
então
.
Obter a expressão geral da transformação linear
definida de modo que
e
. Depois de obter a forma geral, podemos obter o vetor
, tal que
.
Determinar a e b de modo que os vetores
e
sejam paralelos. (use a condição de paralelismo).