Das afirmações abaixo: justifique se for verdadeira, dê um contra-exemplo caso for falsa. © (F) Se w=u+v então |w|=|u|+|v|.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na afirmação que a gente tem aqui. A afirmação diz que se é igual à soma de e , ou seja, , então o módulo (ou tamanho) de é igual à soma dos módulos de e , ou seja, . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial, especificamente a regra do paralelogramo e a desigualdade triangular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o módulo de um vetor é basicamente o seu comprimento, representado por . Quando somamos dois vetores, , o resultado depende da direção e do sentido dos vetores e .

Passo 3

A gente sabe que, em geral, não é necessariamente igual a . Isso acontece porque o ângulo entre e afeta o resultado da soma. A igualdade só ocorre quando os vetores estão na mesma direção e sentido, ou seja, quando eles são paralelos e apontam para o mesmo lado.

Passo 4

Para provar que a afirmação é falsa, vamos pensar em um exemplo onde a igualdade não se sustenta. Imagine que e sejam vetores com a mesma magnitude, mas apontando em direções opostas. Por exemplo, tem módulo 3 e vai para a direita, enquanto também tem módulo 3, mas vai para a esquerda.

Passo 5

Nesse caso, ao somar w = u + v e , a gente tem:
Como e estão em direções opostas, a soma deles resulta em um vetor com módulo zero, ou seja, .

Passo 6

Por outro lado, somando os módulos:
|u| + |v| = 3 + 3 = 6
Claramente, , então a igualdade não se sustenta nesse caso.

Resposta

A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é quando e têm a mesma magnitude mas estão em direções opostas, resultando em .

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