Escreva a equação do plano paralelo ao eixo e que passa pelos pontos e .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa escrever a equação de um plano que seja paralelo ao eixo e que passe pelos pontos e . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica no espaço, especificamente sobre equações de planos e paralelismo a um eixo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um plano ser paralelo ao eixo . O eixo tem a direção do vetor . Se um plano é paralelo a esse eixo, isso quer dizer que o vetor está contido no plano. Na prática, isso significa que a equação do plano não depende de , já que o plano continua na direção do eixo .

Passo 3

A equação geral de um plano é dada por:
Onde é o vetor normal ao plano. Como o plano é paralelo ao eixo , o vetor normal deve ser perpendicular ao vetor . O produto escalar dos vetores normais deve ser zero:
Então, a equação do plano simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos usar os pontos e para encontrar os valores de , e . Substituindo as coordenadas desses pontos na equação do plano:
Para o ponto :
çã
Para o ponto :
çã

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações. Vamos subtrair a Equação 1 da Equação 2 para eliminar :

Passo 6

Agora, substituímos na Equação 1:

Passo 7

Com e , podemos reescrever a equação do plano:
Dividindo todos os termos por (que não é zero), temos:

Resposta

A equação do plano é:

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Das afirmações abaixo: justifique se for verdadeira, dê um contra-exemplo caso for falsa. (a) (V) Se então .
Dados os seguintes planos: : e , calcule:
e para que os planos sejam paralelos.
Das afirmações abaixo: justifique se for verdadeira, dê um contra-exemplo caso for falsa. © (F) Se então .
Obter a expressão geral da transformação linear definida de modo que e . Depois de obter a forma geral, podemos obter o vetor , tal que .