Escreva a equação do plano paralelo ao eixo O x e que passa pelos pontos A(6,1,2) e B(6,-1,3).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa escrever a equação de um plano que seja paralelo ao eixo e que passe pelos pontos e . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica no espaço, especificamente sobre equações de planos e paralelismo a um eixo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um plano ser paralelo ao eixo . O eixo tem a direção do vetor . Se um plano é paralelo a esse eixo, isso quer dizer que o vetor está contido no plano. Na prática, isso significa que a equação do plano não depende de , já que o plano continua na direção do eixo .

Passo 3

A equação geral de um plano é dada por:
nx x + ny y + nz z + d = 0
Onde nx cdot 1 + ny cdot 0 + nz cdot 0 = 0 implies nx = 0 é o vetor normal ao plano. Como o plano é paralelo ao eixo ny y + nz z + d = 0 , o vetor normal deve ser perpendicular ao vetor . O produto escalar dos vetores normais deve ser zero:
Então, a equação do plano simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos usar os pontos ny cdot 1 + nz cdot 2 + d = 0 Rightarrow ny + 2nz + d = 0 (Equação 1) e ny cdot (-1) + nz cdot 3 + d = 0 Rightarrow -ny + 3nz + d = 0 (Equação 2) para encontrar os valores de , e . Substituindo as coordenadas desses pontos na equação do plano:
Para o ponto :
çã
Para o ponto :
çã

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações. Vamos subtrair a Equação 1 da Equação 2 para eliminar (-ny + 3nz + d) - (ny + 2nz + d) = 0 - 0 -2ny + nz = 0 Rightarrow nz = 2ny :

Passo 6

Agora, substituímos ny + 2(2ny) + d = 0 ny + 4ny + d = 0 5ny + d = 0 Rightarrow d = -5ny na Equação 1:

Passo 7

Com ny y + 2ny z - 5ny = 0 e y + 2z - 5 = 0 Rightarrow y + 2z = 5 , podemos reescrever a equação do plano:
Dividindo todos os termos por (que não é zero), temos:

Resposta

A equação do plano é:
y + 2z = 5

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