Obter a expressão geral da transformação linear T: R^3 R^2 definida de modo que T(1,0,0)= (1,0), T(0,1,0)=(1,1) e T(0,0,1)=(1,1). Depois de obter a forma geral, podemos obter o vetor v in R^3, tal que T(v)=(1,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre transformações lineares, que é um assunto de álgebra linear. A gente precisa achar a expressão geral da transformação linear com algumas condições dadas. Depois, vamos encontrar um vetor específico em que, quando aplicamos a transformação nele, o resultado é o vetor .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear. Basicamente, uma transformação linear A = a & b & c d & e & f pode ser representada por uma matriz que, quando multiplicada por um vetor, dá outro vetor. No nosso caso, transforma vetores de 3 dimensões ( ) para 2 dimensões ( ), então a matriz associada a será uma matriz .
Vamos chamar essa matriz de :
Onde são números que precisamos determinar.

Passo 3

As condições que nos foram dadas são as imagens dos vetores canônicos de T(1, 0, 0) = (1, 0) sob a transformação T(0, 1, 0) = (1, 1) :
T(0, 0, 1) = (1, 1)
Vamos usar essas informações para encontrar os valores de .

Passo 4

Aplicando a transformação linear utilizando a matriz T(1, 0, 0) = A cdot 1 0 0 = a d = 1 0 :
a = 1 e d = 0
Isso nos dá:

Passo 5

Agora, aplicando T(0, 1, 0) = A cdot 0 1 0 = b e = 1 1 no vetor b = 1 e e = 1 :
Isso nos dá:

Passo 6

Por último, aplicando T(0, 0, 1) = A cdot 0 0 1 = c f = 1 1 no vetor c = 1 e f = 1 :
Isso nos dá:

Passo 7

Com todos os valores encontrados, a matriz A = 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 que representa a transformação linear T(x, y, z) = 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 x y z = x + y + z y + z fica:
Portanto, a expressão geral da transformação é:

Passo 8

Agora, queremos encontrar um vetor x + y + z = 1 y + z = 2 em tal que . Vamos montar as equações a partir da expressão de :

Passo 9

Vamos resolver esse sistema de equações:
Da segunda equação:
y + z = 2 Rightarrow y = 2 - z
Substituindo na primeira equação:
x + (2 - z) + z = 1 Rightarrow x + 2 = 1 Rightarrow x = -1
Então, temos:
x = -1 e y = 2 - z
Isso significa que y = 2 - 0 = 2 pode ser qualquer valor real. Vamos escolher para simplificar:

Resposta

Um vetor que satisfaz é .

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