Obter a expressão geral da transformação linear definida de modo que e . Depois de obter a forma geral, podemos obter o vetor , tal que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre transformações lineares, que é um assunto de álgebra linear. A gente precisa achar a expressão geral da transformação linear com algumas condições dadas. Depois, vamos encontrar um vetor específico em que, quando aplicamos a transformação nele, o resultado é o vetor .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear. Basicamente, uma transformação linear pode ser representada por uma matriz que, quando multiplicada por um vetor, dá outro vetor. No nosso caso, transforma vetores de 3 dimensões ( ) para 2 dimensões ( ), então a matriz associada a será uma matriz .
Vamos chamar essa matriz de :
Onde são números que precisamos determinar.

Passo 3

As condições que nos foram dadas são as imagens dos vetores canônicos de sob a transformação :
Vamos usar essas informações para encontrar os valores de .

Passo 4

Aplicando a transformação linear utilizando a matriz :
Isso nos dá:

Passo 5

Agora, aplicando no vetor :
Isso nos dá:

Passo 6

Por último, aplicando no vetor :
Isso nos dá:

Passo 7

Com todos os valores encontrados, a matriz que representa a transformação linear fica:
Portanto, a expressão geral da transformação é:

Passo 8

Agora, queremos encontrar um vetor em tal que . Vamos montar as equações a partir da expressão de :

Passo 9

Vamos resolver esse sistema de equações:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então, temos:
Isso significa que pode ser qualquer valor real. Vamos escolher para simplificar:

Resposta

Um vetor que satisfaz é .

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Das afirmações abaixo: justifique se for verdadeira, dê um contra-exemplo caso for falsa. © (F) Se então .
Escreva a equação do plano paralelo ao eixo e que passa pelos pontos e .
Determinar a e b de modo que os vetores e sejam paralelos. (use a condição de paralelismo).
Das afirmações abaixo: justifique se for verdadeira, dê um contra-exemplo caso for falsa. (d) Se então e são paralelos.