Obter a expressão geral da transformação linear definida de modo que e . Depois de obter a forma geral, podemos obter o vetor , tal que .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre transformações lineares, que é um assunto de álgebra linear. A gente precisa achar a expressão geral da transformação linear com algumas condições dadas. Depois, vamos encontrar um vetor específico em que, quando aplicamos a transformação nele, o resultado é o vetor .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear. Basicamente, uma transformação linear pode ser representada por uma matriz que, quando multiplicada por um vetor, dá outro vetor. No nosso caso, transforma vetores de 3 dimensões () para 2 dimensões (), então a matriz associada a será uma matriz .
Vamos chamar essa matriz de :
Onde são números que precisamos determinar.
Passo 3
As condições que nos foram dadas são as imagens dos vetores canônicos de sob a transformação :
Vamos usar essas informações para encontrar os valores de .
Passo 4
Aplicando a transformação linear utilizando a matriz :
Isso nos dá:
Passo 5
Agora, aplicando no vetor :
Isso nos dá:
Passo 6
Por último, aplicando no vetor :
Isso nos dá:
Passo 7
Com todos os valores encontrados, a matriz que representa a transformação linear fica:
Portanto, a expressão geral da transformação é:
Passo 8
Agora, queremos encontrar um vetor em tal que . Vamos montar as equações a partir da expressão de :
Passo 9
Vamos resolver esse sistema de equações:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então, temos:
Isso significa que pode ser qualquer valor real. Vamos escolher para simplificar: