Das afirmações abaixo: justifique se for verdadeira, dê um contra-exemplo caso for falsa. (d) Se então e são paralelos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está perguntando se, quando o tamanho (magnitude) de um vetor é igual à soma dos tamanhos de dois vetores e , então esses vetores são paralelos. A matéria envolvida aqui é álgebra vetorial, especificamente magnitude de vetores e paralelismo entre vetores. Para resolver, vamos precisar entender a desigualdade triangular e as condições para vetores serem paralelos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a magnitude de um vetor. A magnitude de um vetor , escrita como , é o comprimento desse vetor.

Passo 3

Agora, a desigualdade triangular diz que para quaisquer vetores e , a magnitude da soma deles satisfaz:
Isso significa que o comprimento do vetor resultante da soma nunca é maior que a soma dos comprimentos individuais.

Passo 4

A igualdade na desigualdade triangular, ou seja, quando:
ocorre se e somente se os vetores e forem paralelos, ou seja, estiverem na mesma direção ou em direções opostas.

Passo 5

No exercício, a condição dada é que . Comparando com a desigualdade triangular, isso implica que:
Portanto, para que essa igualdade seja válida, os vetores e devem ser paralelos.

Passo 6

Como a igualdade só ocorre quando os vetores são paralelos, concluímos que se , então , e são realmente paralelos.

Resposta

A afirmação é verdadeira. Se , então os vetores , e são paralelos.

Exercícios relacionados

Determinar a e b de modo que os vetores e sejam paralelos. (use a condição de paralelismo).
Obter a expressão geral da transformação linear definida de modo que e . Depois de obter a forma geral, podemos obter o vetor , tal que .
Dados os vetores , determinar um vetor tal que:
b)
Das afirmações abaixo: justifique se for verdadeira, dê um contra-exemplo caso for falsa. (f) ( ) Se e , então .