Das afirmações abaixo: justifique se for verdadeira, dê um contra-exemplo caso for falsa. (d) (F) Se |w|=|u|+|v| então u, v e w são paralelos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está perguntando se, quando o tamanho (magnitude) de um vetor w é igual à soma dos tamanhos de dois vetores u e v, então esses vetores são paralelos. A matéria envolvida aqui é álgebra vetorial, especificamente magnitude de vetores e paralelismo entre vetores. Para resolver, vamos precisar entender a desigualdade triangular e as condições para vetores serem paralelos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a magnitude de um vetor. A magnitude de um vetor a, escrita como |a|, é o comprimento desse vetor.

Passo 3

Agora, a desigualdade triangular diz que para quaisquer vetores u e v, a magnitude da soma deles satisfaz:
|u + v| <= |u| + |v|
Isso significa que o comprimento do vetor resultante da soma nunca é maior que a soma dos comprimentos individuais.

Passo 4

A igualdade na desigualdade triangular, ou seja, quando:
|u + v| = |u| + |v|
ocorre se e somente se os vetores u e v forem paralelos, ou seja, estiverem na mesma direção ou em direções opostas.

Passo 5

No exercício, a condição dada é que |w| = |u| + |v|. Comparando com a desigualdade triangular, isso implica que:
|w| = |u + v|
Portanto, para que essa igualdade seja válida, os vetores u e v devem ser paralelos.

Passo 6

Como a igualdade só ocorre quando os vetores são paralelos, concluímos que se |w| = |u| + |v|, então u, v e w são realmente paralelos.

Resposta

A afirmação é verdadeira. Se |w| = |u| + |v|, então os vetores u, v e w são paralelos.

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