Das afirmações abaixo: justifique se for verdadeira, dê um contra-exemplo caso for falsa. (d)
Se
então
e
são paralelos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está perguntando se, quando o tamanho (magnitude) de um vetor
é igual à soma dos tamanhos de dois vetores
e
, então esses vetores são paralelos. A matéria envolvida aqui é álgebra vetorial, especificamente magnitude de vetores e paralelismo entre vetores. Para resolver, vamos precisar entender a desigualdade triangular e as condições para vetores serem paralelos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a magnitude de um vetor. A magnitude de um vetor
, escrita como
, é o comprimento desse vetor.
Passo 3
Agora, a desigualdade triangular diz que para quaisquer vetores
e
, a magnitude da soma deles satisfaz:
Isso significa que o comprimento do vetor resultante da soma nunca é maior que a soma dos comprimentos individuais.
Passo 4
A igualdade na desigualdade triangular, ou seja, quando:
ocorre se e somente se os vetores
e
forem paralelos, ou seja, estiverem na mesma direção ou em direções opostas.
Passo 5
No exercício, a condição dada é que
. Comparando com a desigualdade triangular, isso implica que:
Portanto, para que essa igualdade seja válida, os vetores
e
devem ser paralelos.
Passo 6
Como a igualdade só ocorre quando os vetores são paralelos, concluímos que se
, então
,
e
são realmente paralelos.
Resposta
A afirmação é verdadeira. Se
, então os vetores
,
e
são paralelos.
Exercícios relacionados
Determinar a e b de modo que os vetores
e
sejam paralelos. (use a condição de paralelismo).
Obter a expressão geral da transformação linear
definida de modo que
e
. Depois de obter a forma geral, podemos obter o vetor
, tal que
.
Dados os vetores
, determinar um vetor
tal que:
b)
b)
Das afirmações abaixo: justifique se for verdadeira, dê um contra-exemplo caso for falsa. (f) ( ) Se
e
, então
.