As afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique a sua resposta: quaisquer que sejam os números reais x e y,
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado da questão está nos perguntando se, para quaisquer números reais
e
, a afirmação
é verdadeira ou falsa. A matéria que vamos usar aqui é sobre inequações e propriedades de potências, especialmente como os quadrados de números reais se comportam. Vamos precisar lembrar como os sinais dos números afetam seus quadrados para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa bicondicional
. Ela diz que
é verdadeiro se e somente se
for verdadeiro. Ou seja, as duas condições precisam acontecer juntas: se
, então
, e vice-versa.
Passo 3
Agora, vamos testar alguns exemplos para ver se isso sempre é verdade.
-
Exemplo 1: Seja
e . - Aqui,
é verdadeiro. - Calculando os quadrados:
e , então também é verdadeiro. - Conclusão: A afirmação funciona nesse caso.
- Aqui,
-
Exemplo 2: Seja
e . - Aqui,
é verdadeiro. - Calculando os quadrados:
e , então . - Conclusão: Mesmo com
, os quadrados não seguem a mesma ordem. A afirmação não funciona aqui.
- Aqui,
-
Exemplo 3: Seja
e . - Aqui,
é verdadeiro. - Calculando os quadrados:
e , então . - Conclusão: Novamente, com
, os quadrados não seguem a mesma ordem.
- Aqui,
Passo 4
Observamos que quando trabalhamos com números negativos, o quadrado deles inverte a ordem das desigualdades. Ou seja, se
e
são negativos e
, então
. Já para números positivos, se
, então
.
Passo 5
Além disso, se
ou
for zero, temos situações específicas:
- Se
e , então e . - Se
e , então mas .
Resposta
A afirmação é falsa, pois existem casos em que
não implica
, especialmente quando os números são negativos.