As afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique a sua resposta: quaisquer que sejam os números reais x e y, .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado da questão está nos perguntando se, para quaisquer números reais e , a afirmação é verdadeira ou falsa. A matéria que vamos usar aqui é sobre inequações e propriedades de potências, especialmente como os quadrados de números reais se comportam. Vamos precisar lembrar como os sinais dos números afetam seus quadrados para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa bicondicional . Ela diz que é verdadeiro se e somente se for verdadeiro. Ou seja, as duas condições precisam acontecer juntas: se , então , e vice-versa.
Passo 3
Agora, vamos testar alguns exemplos para ver se isso sempre é verdade.
Exemplo 1: Seja e .
Aqui, é verdadeiro.
Calculando os quadrados: e , então também é verdadeiro.
Conclusão: A afirmação funciona nesse caso.
Exemplo 2: Seja e .
Aqui, é verdadeiro.
Calculando os quadrados: e , então .
Conclusão: Mesmo com , os quadrados não seguem a mesma ordem. A afirmação não funciona aqui.
Exemplo 3: Seja e .
Aqui, é verdadeiro.
Calculando os quadrados: e , então .
Conclusão: Novamente, com , os quadrados não seguem a mesma ordem.
Passo 4
Observamos que quando trabalhamos com números negativos, o quadrado deles inverte a ordem das desigualdades. Ou seja, se e são negativos e , então . Já para números positivos, se , então .
Passo 5
Além disso, se ou for zero, temos situações específicas:
Se e , então e .
Se e , então mas .
Resposta
A afirmação é falsa, pois existem casos em que não implica , especialmente quando os números são negativos.