As afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique a sua resposta: quaisquer que sejam os números reais x e y, .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão está nos perguntando se, para quaisquer números reais e , a afirmação é verdadeira ou falsa. A matéria que vamos usar aqui é sobre inequações e propriedades de potências, especialmente como os quadrados de números reais se comportam. Vamos precisar lembrar como os sinais dos números afetam seus quadrados para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa bicondicional . Ela diz que é verdadeiro se e somente se for verdadeiro. Ou seja, as duas condições precisam acontecer juntas: se , então , e vice-versa.

Passo 3

Agora, vamos testar alguns exemplos para ver se isso sempre é verdade.
  • Exemplo 1: Seja e .
    • Aqui, é verdadeiro.
    • Calculando os quadrados: e , então também é verdadeiro.
    • Conclusão: A afirmação funciona nesse caso.
  • Exemplo 2: Seja e .
    • Aqui, é verdadeiro.
    • Calculando os quadrados: e , então .
    • Conclusão: Mesmo com , os quadrados não seguem a mesma ordem. A afirmação não funciona aqui.
  • Exemplo 3: Seja e .
    • Aqui, é verdadeiro.
    • Calculando os quadrados: e , então .
    • Conclusão: Novamente, com , os quadrados não seguem a mesma ordem.

Passo 4

Observamos que quando trabalhamos com números negativos, o quadrado deles inverte a ordem das desigualdades. Ou seja, se e são negativos e , então . Já para números positivos, se , então .

Passo 5

Além disso, se ou for zero, temos situações específicas:
  • Se e , então e .
  • Se e , então mas .

Resposta

A afirmação é falsa, pois existem casos em que não implica , especialmente quando os números são negativos.

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