As afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique a sua resposta:
.
Passo 1
Vamos analisar a afirmação:
. O conteúdo envolvido aqui é desigualdade algébrica e manipulação de expressões. Para resolver, precisamos entender como trabalhar com frações e simplificar desigualdades.
Passo 2
Primeiro, observamos que o denominador
é sempre positivo, já que
é sempre não negativo e, ao somar 1, garantimos que
para qualquer valor de
. Isso é importante porque quando multiplicamos ou dividimos ambos os lados de uma desigualdade por um número positivo, a direção da desigualdade permanece a mesma.
Passo 3
Vamos multiplicar ambos os lados da desigualdade original por
:
Como
, a direção da desigualdade não muda ao multiplicar.
Passo 4
Agora, vamos simplificar a segunda parte da afirmação:
Portanto, a desigualdade fica:
Passo 5
Rearranjando os termos para deixar a desigualdade igual a zero:
Isso nos leva a uma inequação quadrática.
Passo 6
Para determinar onde a inequação
é verdadeira, calculamos o discriminante:
Como o discriminante é negativo (
), a equação quadrática não possui raízes reais, e o sinal da expressão quadrática é determinado pelo coeficiente de
, que é positivo.
Passo 7
Como a expressão
é sempre positiva (
) para qualquer valor real de
, a desigualdade
nunca é verdadeira.
Resposta
A afirmação é falsa. A desigualdade
não é equivalente a
.