As afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique a sua resposta: (5x + 3) / (x² + 1) ≥ 5 ⇔ 5x + 3 ≥ 5(x² + 1).

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: . O conteúdo envolvido aqui é desigualdade algébrica e manipulação de expressões. Para resolver, precisamos entender como trabalhar com frações e simplificar desigualdades.

Passo 2

Primeiro, observamos que o denominador é sempre positivo, já que é sempre não negativo e, ao somar 1, garantimos que para qualquer valor de . Isso é importante porque quando multiplicamos ou dividimos ambos os lados de uma desigualdade por um número positivo, a direção da desigualdade permanece a mesma.

Passo 3

Vamos multiplicar ambos os lados da desigualdade original por :
Como , a direção da desigualdade não muda ao multiplicar.

Passo 4

Agora, vamos simplificar a segunda parte da afirmação:
Portanto, a desigualdade fica:

Passo 5

Rearranjando os termos para deixar a desigualdade igual a zero:
Isso nos leva a uma inequação quadrática.

Passo 6

Para determinar onde a inequação é verdadeira, calculamos o discriminante:
Como o discriminante é negativo ( ), a equação quadrática não possui raízes reais, e o sinal da expressão quadrática é determinado pelo coeficiente de , que é positivo.

Passo 7

Como a expressão é sempre positiva ( ) para qualquer valor real de , a desigualdade nunca é verdadeira.

Resposta

A afirmação é falsa. A desigualdade não é equivalente a .

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