Quais das afirmações abaixo são verdadeiras?
(I) Se e são funções inversas entre si, então .
(II) Sejam e . Se , então .
(III) Sejam e . Se , então .
(IV) A função definida por é inversível e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta nos dá quatro afirmações sobre funções e nos pede para identificar quais são verdadeiras. Vamos precisar entender conceitos de funções inversas e como resolver equações envolvendo funções. Vamos lá!
Passo 2
Afirmação I:Se e são funções inversas entre si, então .
Explicação: Funções inversas são aquelas que “desfazem” uma à outra. Isso significa que aplicar uma depois da outra retorna o valor original.
Resolução: Se e são inversas, então por definição:
Conclusão: A afirmação é verdadeira.
Passo 3
Afirmação II:Sejam e . Se , então .
Explicação: Aqui, queremos encontrar a função tal que e depois determinar .
Resolução:
Sabemos que:
Queremos . Vamos substituir em :
Vamos chamar . Então:
Precisamos expressar em termos de :
Substituindo na expressão de :
Agora, podemos encontrar :
Conclusão: A afirmação diz que , mas calculamos que . Portanto, a afirmação é falsa.
Passo 4
Afirmação III:Sejam e . Se , então .
Explicação: Precisamos encontrar a função tal que e verificar o valor de .
Resolução:
Temos:
Queremos:
Vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Tomando a raiz quadrada:
Para :
Conclusão: A afirmação é verdadeira.
Passo 5
Afirmação IV:A função definida por é inversível e .
Explicação: Precisamos verificar se é inversível e calcular o inverso quando o valor é -2.
Resolução:
A função pode ser simplificada:
Como o logaritmo é uma função crescente e estamos multiplicando por -1, é uma função decrescente e, portanto, inversível.