Quais das afirmações abaixo são verdadeiras?
(I) Se f(x) e g(x) são funções inversas entre si, então f(g(x)) = g(f(x)) = x.
(II) Sejam f(x) = (x - 2) / (x + 2) e g(x) = (x + 2) / (x - 2). Se f(x) = h(g(x)), então h(1) = -1/3.
(III) Sejam f(x) = x + 1 e g(x) = raiz(x^2 + 1). Se f(x) = g(h(x)), então h(0) = 0.
(IV) A função f: (0, infinito) -> R definida por f(x) = log2(1/x) é inversível e f^(-1)(-2) = 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta nos dá quatro afirmações sobre funções e nos pede para identificar quais são verdadeiras. Vamos precisar entender conceitos de funções inversas e como resolver equações envolvendo funções. Vamos lá!

Passo 2

Afirmação I: Se e são funções inversas entre si, então .
Explicação: Funções inversas são aquelas que “desfazem” uma à outra. Isso significa que aplicar uma depois da outra retorna o valor original.
Resolução: Se e são inversas, então por definição:
Conclusão: A afirmação é verdadeira.

Passo 3

Afirmação II: Sejam e . Se , então .
Explicação: Aqui, queremos encontrar a função tal que e depois determinar .
Resolução:
  1. Sabemos que:
  1. Queremos . Vamos substituir em :
  1. Vamos chamar . Então:
  1. Precisamos expressar em termos de :
  1. Substituindo na expressão de :
  1. Agora, podemos encontrar :
Conclusão: A afirmação diz que , mas calculamos que . Portanto, a afirmação é falsa.

Passo 4

Afirmação III: Sejam e . Se , então .
Explicação: Precisamos encontrar a função tal que e verificar o valor de .
Resolução:
  1. Temos:
  1. Queremos:
  1. Vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
  1. Subtraindo 1 de ambos os lados:
  1. Tomando a raiz quadrada:
  1. Para :
Conclusão: A afirmação é verdadeira.

Passo 5

Afirmação IV: A função definida por é inversível e .
Explicação: Precisamos verificar se é inversível e calcular o inverso quando o valor é -2.
Resolução:
  1. A função pode ser simplificada:
  1. Como o logaritmo é uma função crescente e estamos multiplicando por -1, é uma função decrescente e, portanto, inversível.
  2. Para encontrar , queremos tal que:
  1. Resolvendo para :
Conclusão: A afirmação é verdadeira.

Resposta

As afirmações I, III e IV são verdadeiras.

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