Quais das afirmações abaixo são verdadeiras?
(I) Se e são funções inversas entre si, então .
(II) Sejam e . Se , então .
(III) Sejam e . Se , então .
(IV) A função definida por é inversível e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta nos dá quatro afirmações sobre funções e nos pede para identificar quais são verdadeiras. Vamos precisar entender conceitos de funções inversas e como resolver equações envolvendo funções. Vamos lá!

Passo 2

Afirmação I: Se e são funções inversas entre si, então .
Explicação: Funções inversas são aquelas que “desfazem” uma à outra. Isso significa que aplicar uma depois da outra retorna o valor original.
Resolução: Se e são inversas, então por definição:
Conclusão: A afirmação é verdadeira.

Passo 3

Afirmação II: Sejam e . Se , então .
Explicação: Aqui, queremos encontrar a função tal que e depois determinar .
Resolução:
  1. Sabemos que:
  1. Queremos . Vamos substituir em :
  1. Vamos chamar . Então:
  1. Precisamos expressar em termos de :
  1. Substituindo na expressão de :
  1. Agora, podemos encontrar :
Conclusão: A afirmação diz que , mas calculamos que . Portanto, a afirmação é falsa.

Passo 4

Afirmação III: Sejam e . Se , então .
Explicação: Precisamos encontrar a função tal que e verificar o valor de .
Resolução:
  1. Temos:
  1. Queremos:
  1. Vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
  1. Subtraindo 1 de ambos os lados:
  1. Tomando a raiz quadrada:
  1. Para :
Conclusão: A afirmação é verdadeira.

Passo 5

Afirmação IV: A função definida por é inversível e .
Explicação: Precisamos verificar se é inversível e calcular o inverso quando o valor é -2.
Resolução:
  1. A função pode ser simplificada:
  1. Como o logaritmo é uma função crescente e estamos multiplicando por -1, é uma função decrescente e, portanto, inversível.
  2. Para encontrar , queremos tal que:
  1. Resolvendo para :
Conclusão: A afirmação é verdadeira.

Resposta

As afirmações I, III e IV são verdadeiras.

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Associe cada função ao seu domínio.
(A1)
(B1)
(A2)
(B2)
(A3)
(B3)
(A4)
(B4) ou
Dada
Calcule os valores de e , tais que e ambos existam.
Calcule os limites abaixo.
Calcule os limites abaixo.
, para