Quais das afirmações abaixo são verdadeiras?
(I) Se
e
são funções inversas entre si, então
.
(II) Sejam
e
. Se
, então
.
(III) Sejam
e
. Se
, então
.
(IV) A função
definida por
é inversível e
.
(I) Se
(II) Sejam
(III) Sejam
(IV) A função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta nos dá quatro afirmações sobre funções e nos pede para identificar quais são verdadeiras. Vamos precisar entender conceitos de funções inversas e como resolver equações envolvendo funções. Vamos lá!
Passo 2
Afirmação I: Se
e
são funções inversas entre si, então
.
Explicação: Funções inversas são aquelas que “desfazem” uma à outra. Isso significa que aplicar uma depois da outra retorna o valor original.
Resolução: Se
e
são inversas, então por definição:
Conclusão: A afirmação é verdadeira.
Passo 3
Afirmação II: Sejam
e
. Se
, então
.
Explicação: Aqui, queremos encontrar a função
tal que
e depois determinar
.
Resolução:
- Sabemos que:
- Queremos
. Vamos substituir em :
- Vamos chamar
. Então:
- Precisamos expressar
em termos de :
- Substituindo
na expressão de :
- Agora, podemos encontrar
:
Conclusão: A afirmação diz que
, mas calculamos que
. Portanto, a afirmação é falsa.
Passo 4
Afirmação III: Sejam
e
. Se
, então
.
Explicação: Precisamos encontrar a função
tal que
e verificar o valor de
.
Resolução:
- Temos:
- Queremos:
- Vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
- Subtraindo 1 de ambos os lados:
- Tomando a raiz quadrada:
- Para
:
Conclusão: A afirmação é verdadeira.
Passo 5
Afirmação IV: A função
definida por
é inversível e
.
Explicação: Precisamos verificar se
é inversível e calcular o inverso quando o valor é -2.
Resolução:
- A função
pode ser simplificada:
- Como o logaritmo é uma função crescente e estamos multiplicando por -1,
é uma função decrescente e, portanto, inversível. - Para encontrar
, queremos tal que:
- Resolvendo para
:
Conclusão: A afirmação é verdadeira.
Resposta
As afirmações I, III e IV são verdadeiras.