Dada
f(x)=cc x^2, & se x <=-2 a x+b, & se -2
Calcule os valores de a e b, tais que lim x -2 f(x) e lim x 2 f(x) ambos existam.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
f(x)=cc x^2, & se x <= -2 a x+b, & se -2 < x < 2 2 x-6, & se 2 <= x
Nosso objetivo é encontrar os valores de e de forma que os limites de quando se aproxima de -2 e 2 existam. Isso significa que a função deve ser contínua nesses pontos.

Passo 2

Para que o limite exista em f(-2^-) = (-2)^2 = 4 , o valor da função pela esquerda (quando f(-2^+) = a(-2) + b = -2a + b se aproxima de -2 por valores menores que -2) deve ser igual ao valor pela direita (quando -2a + b = 4 (Equação 1) se aproxima de -2 por valores maiores que -2).
Vamos calcular esses limites:
Limite pela esquerda ( ):
Limite pela direita ( ):
Para que o limite exista, temos:
çã

Passo 3

Agora, fazemos o mesmo para f(2^-) = a(2) + b = 2a + b .
Limite pela esquerda ( f(2^+) = 2(2) - 6 = 4 - 6 = -2 ):
2a + b = -2 (Equação 2)
Limite pela direita ( ):
Para que o limite exista, temos:
çã

Passo 4

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
-2a + b = 4 (Equação 1) 2a + b = -2 (Equação 2) çãçã
Vamos resolver esse sistema. Podemos subtrair a Equação 2 da Equação 1:
(-2a + b) - (2a + b) = 4 - (-2) -4a = 6 a = -64 = -32

Passo 5

Com o valor de -2(-32) + b = 4 3 + b = 4 b = 4 - 3 b = 1 encontrado, substituímos na Equação 1 para encontrar :

Resposta

Os valores são e .

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