Quais das afirmações a seguir com relação à função y=f(x) representada graficamente aqui são verdadeiras? E quais são falsas? d lim x x0 f(x) existe em todo ponto x0 em (-1,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta é sobre a função e se o limite existe em todo ponto no intervalo . Estamos trabalhando com o conceito de limites de funções, e para resolver isso, vamos precisar analisar o gráfico da função para ver se, conforme nos aproximamos de qualquer ponto nesse intervalo, o valor de se aproxima de um número específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o limite de uma função existir em um ponto. O limite limx x0^- f(x) = limx x0^+ f(x) existe se, ao nos aproximarmos de pela direita e pela esquerda, os valores de se aproximam do mesmo número. Ou seja, os limites laterais devem ser iguais:

Passo 3

Agora, olhando para o gráfico da função no intervalo , precisamos verificar se não há nenhum ponto onde a função “quebra”, salta ou tem um comportamento estranho que faria com que os limites laterais não coincidam. Se em todo ponto dentro desse intervalo a função for contínua, então os limites existem e são iguais ao valor da função naquele ponto.

Passo 4

Supondo que o gráfico da função não apresente nenhuma descontinuidade no intervalo , podemos concluir que, para qualquer nesse intervalo, o limite existe e é igual a . Isso significa que a função é contínua em todo esse intervalo.

Resposta

A afirmação é verdadeira. O limite existe em todo ponto no intervalo .

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