Nas afirmativas abaixo, A, B e C são matrizes de ordens apropriadas para as operações indicadas.
(j) ( ) Se A B=0 e B é inversível, então A=0.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está perguntando. Temos duas matrizes, e , de tamanhos que permitem a multiplicação . Sabemos que , ou seja, o produto das duas dá a matriz nula. Além disso, a matriz é inversível, o que significa que existe uma matriz que, quando multiplicada por , dá a matriz identidade. Nosso objetivo é descobrir se, sob essas condições, necessariamente também precisa ser a matriz nula. Vamos usar conceitos de álgebra de matrizes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, lembramos que uma matriz B B^-1 = B^-1 B = I é inversível se existe uma matriz tal que:
onde é a matriz identidade. Isso é crucial porque a existência de nos permite “desfazer” a multiplicação por .

Passo 3

Agora, vamos usar essa propriedade para isolar AB B^-1 = 0 B^-1 na equação A I = 0 . Multiplicamos ambos os lados da equação pela matriz inversa de A = 0 , , à direita:
Sabemos que , então substituímos:
Como qualquer matriz multiplicada pela identidade continua a mesma matriz, temos:

Resposta

Sim, se e é inversível, então .

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