Nas afirmativas abaixo,
e
são matrizes de ordens apropriadas para as operações indicadas.
(j) ( ) Se
e
é inversível, então
.
(j) ( ) Se
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está perguntando. Temos duas matrizes,
e
, de tamanhos que permitem a multiplicação
. Sabemos que
, ou seja, o produto das duas dá a matriz nula. Além disso, a matriz
é inversível, o que significa que existe uma matriz
que, quando multiplicada por
, dá a matriz identidade. Nosso objetivo é descobrir se, sob essas condições, necessariamente
também precisa ser a matriz nula. Vamos usar conceitos de álgebra de matrizes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, lembramos que uma matriz
é inversível se existe uma matriz
tal que:
onde
é a matriz identidade. Isso é crucial porque a existência de
nos permite “desfazer” a multiplicação por
.
Passo 3
Agora, vamos usar essa propriedade para isolar
na equação
. Multiplicamos ambos os lados da equação pela matriz inversa de
,
, à direita:
Sabemos que
, então substituímos:
Como qualquer matriz multiplicada pela identidade continua a mesma matriz, temos:
Resposta
Sim, se
e
é inversível, então
.