Uma mensagem contendo caracteres pode ser associada a uma matriz fazendo uma correspondência entre cada caracter da mensagem e cada elemento da matriz através da tabela abaixo:
Suponhamos que a nossa mensagem seja De modo geral, para transmitir uma mensagem de forma segura vamos utilizar a matriz chave , sendo C uma matriz inversível e codificamos a mensagem fazendo o produto M cdot C=[rcc-5 & 87 & 61 -29 & 112 & 53 5 & 13 & 14], onde M é a matriz da mensagem.
Transmitimos esta nova mensagem (na prática, envia-se a cadeia de números -5 87 61llllll-29 & 112 & 53 & 5 & 13 & 14). O receptor receberá a matriz M cdot C e tem a tabela de correspondência entre caracteres e números. Para decodificar a mensagem ele deve efetuar a multiplicação (M cdot C) cdot C^-1=M.
(b) Aconteceu que o inimigo descobriu sua chave. O seu comandante manda você substituir a matriz chave por [rrr1 & 1 & -1 1 & 1 & 0 0 & 0 & 2]. Você tranmite a mensagem “CRETINO!!” a ele (codificada, naturalmente!). Por que não será possível a ele decodificar sua mensagem?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma mensagem “CRETINO!!” que está sendo codificada usando uma nova matriz chave. O conteúdo aqui envolve matrizes e a ideia de codificação e decodificação usando multiplicação de matrizes. Para resolver essa parte, precisamos entender se a matriz chave que foi enviada é invertível ou não, porque isso determina se a mensagem pode ser decodificada.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se a nova matriz chave é invertível. Uma matriz é invertível se o seu determinante for diferente de zero. Se o determinante for zero, a matriz não tem inversa, o que significa que não conseguimos decodificar a mensagem.
Passo 3
Vamos calcular o determinante da matriz chave que foi enviada:
C' = 1 & 1 & -1 1 & 1 & 0 0 & 0 & 2
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, usamos a fórmula:
det(C') = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde:
det(C') = 1(1 times 2 - 0 times 0) - 1(1 times 2 - 0 times 0) + (-1)(1 times 0 - 1 times 0) det(C') = 1(2) - 1(2) + (-1)(0) det(C') = 2 - 2 + 0 det(C') = 0
Substituindo na fórmula:
Passo 4
O determinante da matriz chave é zero. Isso significa que não é invertível.
Passo 5
Como a matriz chave não é invertível, não existe uma matriz inversa que possamos usar para decodificar a mensagem. Sem essa inversa, o receptor não consegue retornar à matriz original da mensagem , o que torna impossível decifrar o conteúdo da mensagem enviada.
Resposta
Como a nova matriz chave tem determinante zero e não é invertível, o inimigo não conseguirá decodificar a mensagem “CRETINO!!” porque não existe uma matriz inversa para realizar a operação de decodificação.