Uma mensagem contendo caracteres pode ser associada a uma matriz M fazendo uma correspondência entre cada caracter da mensagem e cada elemento da matriz através da tabela abaixo:
|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c| & A & B & C & D & E & F & G & H & I & J & K & L & M & N & O & P & Q & R & S & T & U 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21
|c|c|c|c|c|c|c|c|c| V & W & X & Y & Z & & ! & , & - 22 & 23 & 24 & 25 & 26 & 27 & 28 & 29 & 30
Suponhamos que a nossa mensagem seja De modo geral, para transmitir uma mensagem de forma segura vamos utilizar a matriz chave C=[rrr1 & 0 & 1 -1 & 3 & 1 0 & 1 & 1], sendo C uma matriz inversível e codificamos a mensagem fazendo o produto
M cdot C=[rcc-5 & 87 & 61 -29 & 112 & 53 5 & 13 & 14], onde M é a matriz da mensagem.
Transmitimos esta nova mensagem (na prática, envia-se a cadeia de números -5 87 61 llllll-29 & 112 & 53 & 5 & 13 & 14). O receptor receberá a matriz M cdot C e tem a tabela de correspondência entre caracteres e números. Para decodificar a mensagem ele deve efetuar a multiplicação (M cdot C) cdot C^-1=M.
(b) Aconteceu que o inimigo descobriu sua chave. O seu comandante manda você substituir a matriz chave por [rrr1 & 1 & -1 1 & 1 & 0 0 & 0 & 2]. Você tranmite a mensagem “CRETINO!!” a ele (codificada, naturalmente!). Por que não será possível a ele decodificar sua mensagem?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma mensagem “CRETINO!!” que está sendo codificada usando uma nova matriz chave. O conteúdo aqui envolve matrizes e a ideia de codificação e decodificação usando multiplicação de matrizes. Para resolver essa parte, precisamos entender se a matriz chave que foi enviada é invertível ou não, porque isso determina se a mensagem pode ser decodificada.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se a nova matriz chave é invertível. Uma matriz é invertível se o seu determinante for diferente de zero. Se o determinante for zero, a matriz não tem inversa, o que significa que não conseguimos decodificar a mensagem.

Passo 3

Vamos calcular o determinante da matriz chave que foi enviada:
C' = 1 & 1 & -1 1 & 1 & 0 0 & 0 & 2
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, usamos a fórmula:
det(C') = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde:
  • det(C') = 1(1 times 2 - 0 times 0) - 1(1 times 2 - 0 times 0) + (-1)(1 times 0 - 1 times 0) det(C') = 1(2) - 1(2) + (-1)(0) det(C') = 2 - 2 + 0 det(C') = 0
Substituindo na fórmula:

Passo 4

O determinante da matriz chave é zero. Isso significa que não é invertível.

Passo 5

Como a matriz chave não é invertível, não existe uma matriz inversa que possamos usar para decodificar a mensagem. Sem essa inversa, o receptor não consegue retornar à matriz original da mensagem , o que torna impossível decifrar o conteúdo da mensagem enviada.

Resposta

Como a nova matriz chave tem determinante zero e não é invertível, o inimigo não conseguirá decodificar a mensagem “CRETINO!!” porque não existe uma matriz inversa para realizar a operação de decodificação.

Exercícios relacionados