Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta.
© ( ) Sejam A, B e P matrizes reais de ordem n, tais que B=P^T A P, sendo P inversível. Então det(A)=det(B).

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o enunciado: temos três matrizes reais e de ordem , onde e é inversível. O conteúdo envolvido aqui é o determinante de matrizes e como ele se comporta sob transformações com matrizes invertíveis. Para resolver, precisamos usar propriedades dos determinantes relacionadas a produtos de matrizes e matrizes transpostas.

Passo 2

Vamos calcular o determinante de det(B) = det(P^T A P) :
det(B) = det(P^T) cdot det(A) cdot det(P)
Usando a propriedade que o determinante de um produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes, temos:
det(B) = det(P) cdot det(A) cdot det(P) = (det(P))^2 cdot det(A)
Sabemos também que o determinante da transposta de uma matriz é igual ao determinante da matriz original, ou seja, . Portanto:
Isso mostra que é igual a multiplicado por . Como é inversível, é diferente de zero, mas não necessariamente igual a 1. Portanto, a igualdade só seria verdadeira se , o que não é garantido.

Resposta

Falsa.

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