Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta.
© ( ) Sejam
e
matrizes reais de ordem
, tais que
, sendo
inversível. Então
.
© ( ) Sejam
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o enunciado: temos três matrizes reais
e
de ordem
, onde
e
é inversível. O conteúdo envolvido aqui é o determinante de matrizes e como ele se comporta sob transformações com matrizes invertíveis. Para resolver, precisamos usar propriedades dos determinantes relacionadas a produtos de matrizes e matrizes transpostas.
Passo 2
Vamos calcular o determinante de
:
Usando a propriedade que o determinante de um produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes, temos:
Sabemos também que o determinante da transposta de uma matriz é igual ao determinante da matriz original, ou seja,
. Portanto:
Isso mostra que
é igual a
multiplicado por
. Como
é inversível,
é diferente de zero, mas não necessariamente igual a 1. Portanto, a igualdade
só seria verdadeira se
, o que não é garantido.
Resposta
Falsa.