Uma mensagem contendo caracteres pode ser associada a uma matriz fazendo uma correspondência entre cada caracter da mensagem e cada elemento da matriz através da tabela abaixo:
Suponhamos que a nossa mensagem seja De modo geral, para transmitir uma mensagem de forma segura vamos utilizar a matriz chave , sendo C uma matriz inversível e codificamos a mensagem fazendo o produto M cdot C=[rcc-5 & 87 & 61 -29 & 112 & 53 5 & 13 & 14], onde M é a matriz da mensagem.
Transmitimos esta nova mensagem (na prática, envia-se a cadeia de números -5 87 61llllll-29 & 112 & 53 & 5 & 13 & 14). O receptor receberá a matriz M cdot C e tem a tabela de correspondência entre caracteres e números. Para decodificar a mensagem ele deve efetuar a multiplicação (M cdot C) cdot C^-1=M.
(a) Se você é o receptor e recebeu a mensagem codificada: llllllllllllllllllllllll-16 & 63 & 26 & -2 & 27 & 22 & 1 & 21 & 18 & 5 & 45 & 35 & 13 & 3 & 15 & 1 & 33 & 30 & 2 & 6 & 7 & -14 & 73 & 44 Utilizando a mesma matriz chave traduza a mensagem original.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma mensagem codificada em números usando uma matriz chave . Nosso objetivo aqui é decodificar essa mensagem usando a matriz inversa de . Para isso, vamos precisar de conhecimentos sobre matrizes, multiplicação de matrizes e matrizes inversas. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a mensagem codificada que recebemos. A mensagem é uma sequência de números:
Como a matriz chave M cdot C = -16 & 63 & 26 & -2 & 27 & 22 & 1 & 21 18 & 5 & 45 & 35 & 13 & 3 & 15 & 1 33 & 30 & 2 & 6 & 7 & -14 & 73 & 44 é , vamos organizar esses números em uma matriz com 3 linhas e 8 colunas (já que temos 24 números no total):
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a matriz inversa de C = 1 & 0 & 1 -1 & 3 & 1 0 & 1 & 1 , que chamaremos de det(C) = 1 times (3 times 1 - 1 times 1) - 0 times (-1 times 1 - 1 times 0) + 1 times (-1 times 1 - 3 times 0) = 1 times (3 - 1) + 0 + 1 times (-1) = 2 - 1 = 1 . Para isso, vamos primeiro calcular o determinante de C^-1 = 1det(C) times adj(C) = adj(C) .
Matriz chave adj(C) = (3 times 1 - 1 times 1) & -( -1 times 1 - 1 times 0) & (-1 times 1 - 3 times 0) -(0 times 1 - 1 times 1) & (1 times 1 - 1 times 0) & -(1 times 1 - 0 times 0) (0 times 1 - 3 times 0) & -(1 times 1 - (-1) times 0) & (1 times 3 - (-1) times 0) = 2 & 1 & -1 -1 & 1 & -1 0 & -1 & 3 :
C^-1 = 2 & 1 & -1 -1 & 1 & -1 0 & -1 & 3
Determinante de :
Como o determinante não é zero, a matriz é inversível. Vamos calcular :
Calculando a matriz adjunta de :
Então,
Passo 4
Com M = (M cdot C) cdot C^-1 em mãos, vamos decodificar a mensagem original multiplicando a matriz -16 18 33 times 2 & 1 & -1 -1 & 1 & -1 0 & -1 & 3 = (-16 times 2) + (63 times -1) + (26 times 0) (-16 times 1) + (63 times 1) + (26 times -1) (-16 times -1) + (63 times -1) + (26 times 3) por :
Vamos fazer essa multiplica�o para cada coluna das matrizes. Por exemplo, para a primeira coluna:
Repetindo esse processo para todas as colunas, obtemos a matriz .
Passo 5
Após calcular a matriz , cada número nela corresponde a um caractere segundo a tabela fornecida. Vamos fazer a conversão:
Por exemplo, se na matriz temos o número 4, olhando na tabela, ele corresponde à letra “D”.
Fazendo isso para todos os números, reconstruímos a mensagem original em texto.
Resposta
A mensagem original decodificada é: "DE MODO GERAL"