Nos casos abaixo, pede-se: verificar se A é inversível; cof(A), a matriz cofatora de A, e A^-1, a matriz inversa de A (usando cof(A)), se esta existir.
(a) A=[ccc1 & -2 & 3 6 & 7 & -1 -3 & 1 & 4];

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para verificar se a matriz A é inversível, encontrar a matriz cofatora cof(A) e, se possível, calcular a matriz inversa A^-1 usando a cofatora. Para isso, vamos trabalhar com conceitos de matrizes, determinantes e matrizes cofattoras.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a matriz A é inversível. Uma matriz é inversível se e somente se o seu determinante é diferente de zero. Então, precisamos calcular o determinante de A.

Passo 3

A matriz dada é:
A = 1 & -2 & 3 6 & 7 & -1 -3 & 1 & 4
Vamos calcular o determinante de A usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos optar pela expansão pela primeira linha para facilitar.

Passo 4

O determinante de A ( det(A)) é calculado assim:
det(A) = 1 cdot det7 & -1 1 & 4 - (-2) cdot det6 & -1 -3 & 4 + 3 cdot det6 & 7 -3 & 1
Calculando cada determinante menor:
  1. det7 & -1 1 & 4 = (7)(4) - (-1)(1) = 28 + 1 = 29
  2. det6 & -1 -3 & 4 = (6)(4) - (-1)(-3) = 24 - 3 = 21
  3. det6 & 7 -3 & 1 = (6)(1) - (7)(-3) = 6 + 21 = 27

Passo 5

Agora, substituindo esses valores na expressão do determinante:
det(A) = 1 cdot 29 - (-2) cdot 21 + 3 cdot 27 = 29 + 42 + 81 = 152

Passo 6

Como det(A) = 152 neq 0, a matriz A é inversível.

Passo 7

Agora que sabemos que A é inversível, vamos encontrar a matriz cofatora cof(A). A matriz cofatora é composta pelos cofactores de cada elemento de A. O cofator de um elemento aij é dado por:
Cij = (-1)^i+j det(Mij)
onde Mij é a matriz menor, eliminando a linha i e a coluna j.

Passo 8

Vamos calcular cada cofator:
  • C11 = (-1)^1+1 det7 & -1 1 & 4 = 1 cdot 29 = 29
  • C12 = (-1)^1+2 det6 & -1 -3 & 4 = -1 cdot 21 = -21
  • C13 = (-1)^1+3 det6 & 7 -3 & 1 = 1 cdot 27 = 27
  • C21 = (-1)^2+1 det-2 & 3 1 & 4 = -1 cdot (-2 cdot 4 - 3 cdot 1) = -1 cdot (-8 -3) = 11
  • C22 = (-1)^2+2 det1 & 3 -3 & 4 = 1 cdot (1 cdot 4 - 3 cdot (-3)) = 1 cdot (4 +9) = 13
  • C23 = (-1)^2+3 det1 & -2 -3 & 1 = -1 cdot (1 cdot 1 - (-2) cdot (-3)) = -1 cdot (1 -6) = 5
  • C31 = (-1)^3+1 det-2 & 3 7 & -1 = 1 cdot (-2 cdot (-1) - 3 cdot 7) = 1 cdot (2 -21) = -19
  • C32 = (-1)^3+2 det1 & 3 6 & -1 = -1 cdot (1 cdot (-1) - 3 cdot 6) = -1 cdot (-1 -18) = 19
  • C33 = (-1)^3+3 det1 & -2 6 & 7 = 1 cdot (1 cdot 7 - (-2) cdot 6) = 1 cdot (7 +12) = 19

Passo 9

Então, a matriz cofatora cof(A) é:
cof(A) = 29 & -21 & 27 11 & 13 & 5 -19 & 19 & 19

Passo 10

Para encontrar a matriz inversa A^-1, usamos a fórmula:
A^-1 = 1det(A) cof(A)^T
Primeiro, vamos transpor a matriz cofatora.

Passo 11

A transposta de cof(A) é:
cof(A)^T = 29 & 11 & -19 -21 & 13 & 19 27 & 5 & 19

Passo 12

Agora, multiplicamos cada elemento da matriz transposta pela inversa do determinante ( 1/152):
A^-1 = 1152 29 & 11 & -19 -21 & 13 & 19 27 & 5 & 19

Resposta

A matriz A é inversível. A matriz cofatora de A é:
cof(A) = 29 & -21 & 27 11 & 13 & 5 -19 & 19 & 19
E a matriz inversa de A é:
A^-1 = 1152 29 & 11 & -19 -21 & 13 & 19 27 & 5 & 19

Exercícios relacionados