Agora dê ao colega de FUV uma interpretação geométrica do teorema fundamental do Cálculo, parte 1, com exemplos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para dar uma interpretação geométrica do Teorema Fundamental do Cálculo, parte 1, para um colega da FUV, e ainda incluir alguns exemplos. Isso envolve entender como a derivada e a integral se relacionam geometricamente. Vamos precisar mexer com conceitos de derivada, integral definida e a ideia de área sob a curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC). Ele conecta a derivada e a integral, duas operações fundamentais do cálculo. O TFC tem duas partes, e a parte 1 é a que nos interessa aqui.

Passo 3

A parte 1 do TFC basicamente diz que se você tem uma função contínua em um intervalo e define uma nova função como a integral de de até , então é diferenciável e sua derivada é . Em termos matemáticos:

Passo 4

Agora, vamos para a interpretação geométrica. Imagine que é uma curva no plano cartesiano. A integral definida representa a área acumulada sob a curva de desde até . A função coleta essa área à medida que varia.

Passo 5

Geometricamente, a derivada de , que é , nos dá a taxa instantânea de variação dessa área acumulada. Segundo o TFC Parte 1, essa taxa é exatamente a altura da curva no ponto . Ou seja, nos diz quão rápido a área sob a curva está crescendo naquele instante.

Passo 6

Vamos ver um exemplo prático. Suponha que . Então,
Agora, a derivada de é:
Geometricamente, isso significa que a taxa de aumento da área sob é justamente naquele ponto.

Passo 7

Outro exemplo: considere . A integral definida de a é:
A derivada de é:
Aqui, a taxa de variação da área sob a curva de é exatamente naquele ponto.

Resposta

Então, de forma geométrica, o Teorema Fundamental do Cálculo Parte 1 nos mostra que a integral definida de uma função contínua de até representa a área acumulada sob , e que a função que acumula essa área é diferenciável cuja derivada é exatamente . Isso conecta a ideia de área sob a curva com a taxa de variação instantânea da função, estabelecendo uma ponte entre integral e derivada.

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Qual é a ordem das seguintes equações ?
(a)
(b)
Determine o campo das seguintes equações:
Verifique que as seguintes EDOs admitem as soluções propostas:
, onde é uma constante.
Liste os cinco primeiros termos da sequência.