Agora dê ao colega de FUV uma interpretação geométrica do teorema fundamental do Cálculo, parte 1, com exemplos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para dar uma interpretação geométrica do Teorema Fundamental do Cálculo, parte 1, para um colega da FUV, e ainda incluir alguns exemplos. Isso envolve entender como a derivada e a integral se relacionam geometricamente. Vamos precisar mexer com conceitos de derivada, integral definida e a ideia de área sob a curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC). Ele conecta a derivada e a integral, duas operações fundamentais do cálculo. O TFC tem duas partes, e a parte 1 é a que nos interessa aqui.
Passo 3
A parte 1 do TFC basicamente diz que se você tem uma função contínua
em um intervalo
e define uma nova função
como a integral de
de
até
, então
é diferenciável e sua derivada é
. Em termos matemáticos:
Passo 4
Agora, vamos para a interpretação geométrica. Imagine que
é uma curva no plano cartesiano. A integral definida
representa a área acumulada sob a curva de
desde
até
. A função
coleta essa área à medida que
varia.
Passo 5
Geometricamente, a derivada de
, que é
, nos dá a taxa instantânea de variação dessa área acumulada. Segundo o TFC Parte 1, essa taxa é exatamente a altura da curva
no ponto
. Ou seja,
nos diz quão rápido a área sob a curva está crescendo naquele instante.
Passo 6
Vamos ver um exemplo prático. Suponha que
. Então,
Agora, a derivada de
é:
Geometricamente, isso significa que a taxa de aumento da área sob
é justamente
naquele ponto.
Passo 7
Outro exemplo: considere
. A integral definida de
a
é:
A derivada de
é:
Aqui, a taxa de variação da área sob a curva de
é exatamente
naquele ponto.
Resposta
Então, de forma geométrica, o Teorema Fundamental do Cálculo Parte 1 nos mostra que a integral definida de uma função contínua
de
até
representa a área acumulada sob
, e que a função que acumula essa área é diferenciável cuja derivada é exatamente
. Isso conecta a ideia de área sob a curva com a taxa de variação instantânea da função, estabelecendo uma ponte entre integral e derivada.
Exercícios relacionados
Qual é a ordem das seguintes equações
?
(a)
(b)
(a)
(b)
Determine o campo das seguintes equações:
Verifique que as seguintes EDOs admitem as soluções propostas:
, onde
é uma constante.
Liste os cinco primeiros termos da sequência.