Verifique que as seguintes EDOs admitem as soluções propostas:
x'(t) + x(t)/t = exp(t) (com t != 0), x(t) = ((t-1) exp(t))/t + c/t, onde c é uma constante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que precisa verificar se uma solução proposta realmente resolve a equação. A equação é , e a solução que queremos testar é , onde é uma constante. Para isso, vamos precisar calcular a derivada de e substituir na equação para ver se tudo se encaixa certinho.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de . A função é . Vamos diferenciar cada termo separadamente.
Para o primeiro termo , usamos a regra do quociente:
Calculando as derivadas:
Substituindo de volta:
Para o segundo termo , a derivada é:
Então, a derivada total de é:

Passo 3

Agora, vamos substituir e na equação original :
Vamos simplificar cada termo:
Primeiro, a parte :
Agora, somando com :
Note que os termos com se cancelam:

Passo 4

Vamos somar os dois termos restantes:

Resposta

A equação é satisfeita pela solução proposta . Portanto, as soluções propostas são válidas.

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