Determine o campo das seguintes equações:
x' + x * exp(t) = sen(x)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado: "Determine o campo das seguintes equações: ". Aqui, estamos trabalhando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo de direções (ou campo direcional) e como construí-lo para essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar . A equação dada é:
Subtraindo de ambos os lados, temos:
Agora, a equação está na forma padrão , onde:
Essa forma é útil para construir o campo de direções.

Passo 3

O que é um campo de direções?
Um campo de direções é uma representação gráfica que mostra as inclinações das soluções de uma equação diferencial em cada ponto do plano. Cada ponto no gráfico terá uma pequena linha inclinada com a inclinação dada por . Isso ajuda a visualizar como as soluções da equação diferencial se comportam sem resolver a equação explicitamente.

Passo 4

Como construir o campo de direções?
Para construir o campo de direções da equação , siga estes passos:
  1. Escolha pontos no plano : Por exemplo, selecione vários valores de e para cobrir a região de interesse.
  2. Calcule para cada ponto: Substitua os valores escolhidos na função .
  3. Desenhe uma pequena linha inclinada com a inclinação em cada ponto: A inclinação dessa linha representa a derivada naquele ponto específico.

Passo 5

Exemplo Prático:
Vamos calcular algumas inclinações para entender melhor:
  • Ponto :
    A inclinação é 0, então desenhamos uma linha horizontal.
  • Ponto :
    A inclinação é negativa, então desenhamos uma linha inclinada para baixo.
  • Ponto :
    A inclinação é ainda mais negativa.
Fazendo isso para vários pontos, você começará a visualizar o campo de direções.

Passo 6

Interpretando o Campo de Direções:
Observando as inclinações calculadas:
  • Onde é pequeno, domina, então as inclinações podem ser positivas.
  • À medida que aumenta, o termo se torna mais significativo, tornando as inclinações negativas.
Isso sugere que as soluções podem tender a estabilizar-se em valores específicos ou seguir para negativos conforme aumenta.

Resposta

Seguindo os passos acima, construímos o campo de direções para a equação diferencial . Esse campo mostra como as soluções se comportam em diferentes pontos do plano , permitindo visualizar o andamento das possíveis soluções sem resolvê-las explicitamente.

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