Determine o campo das seguintes equações:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no enunciado: "Determine o campo das seguintes equações:
". Aqui, estamos trabalhando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo de direções (ou campo direcional) e como construí-lo para essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar
. A equação dada é:
Subtraindo
de ambos os lados, temos:
Agora, a equação está na forma padrão
, onde:
Essa forma é útil para construir o campo de direções.
Passo 3
O que é um campo de direções?
Um campo de direções é uma representação gráfica que mostra as inclinações das soluções de uma equação diferencial em cada ponto do plano. Cada ponto no gráfico terá uma pequena linha inclinada com a inclinação dada por
. Isso ajuda a visualizar como as soluções da equação diferencial se comportam sem resolver a equação explicitamente.
Um campo de direções é uma representação gráfica que mostra as inclinações das soluções de uma equação diferencial em cada ponto
Passo 4
Como construir o campo de direções?
Para construir o campo de direções da equação , siga estes passos:
Para construir o campo de direções da equação
- Escolha pontos no plano
: Por exemplo, selecione vários valores de e para cobrir a região de interesse. - Calcule
para cada ponto: Substitua os valores escolhidos na função . - Desenhe uma pequena linha inclinada com a inclinação
em cada ponto: A inclinação dessa linha representa a derivada naquele ponto específico.
Passo 5
Exemplo Prático:
Vamos calcular algumas inclinações para entender melhor:
Vamos calcular algumas inclinações para entender melhor:
-
Ponto
: A inclinação é 0, então desenhamos uma linha horizontal. -
Ponto
: A inclinação é negativa, então desenhamos uma linha inclinada para baixo. -
Ponto
: A inclinação é ainda mais negativa.
Fazendo isso para vários pontos, você começará a visualizar o campo de direções.
Passo 6
Interpretando o Campo de Direções:
Observando as inclinações calculadas:
Observando as inclinações calculadas:
- Onde
é pequeno, domina, então as inclinações podem ser positivas. - À medida que
aumenta, o termo se torna mais significativo, tornando as inclinações negativas.
Isso sugere que as soluções podem tender a estabilizar-se em valores específicos ou seguir para
negativos conforme
aumenta.
Resposta
Seguindo os passos acima, construímos o campo de direções para a equação diferencial
. Esse campo mostra como as soluções se comportam em diferentes pontos do plano
, permitindo visualizar o andamento das possíveis soluções sem resolvê-las explicitamente.