(v) Resolva o sistema linear usando a Regra de Crammer.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de 4 equações lineares com 4 incógnitas (x, y, z, w). Vamos usar a Regra de Cramer, que nos permite resolver sistemas lineares utilizando determinantes. Para isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz dos coeficientes e os determinantes das matrizes obtidas substituindo, uma a uma, as colunas pelos termos independentes.
Passo 2
Vamos começar montando a matriz dos coeficientes do sistema. Cada linha da matriz corresponde aos coeficientes de uma das equações:
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante da matriz A (|A|). Esse determinante nos dirá se o sistema tem solução única (se |A| ≠ 0). Para uma matriz 4x4, calculamos o determinante expandindo por cofatores. Vamos fazer isso passo a passo.
Primeiro, escolhemos a primeira linha para expandir:
Vamos calcular cada menor:
Primeiro menor:
Segundo menor:
Terceiro menor:
Quarto menor:
Agora substituímos de volta na expressão do determinante:
Passo 4
Como |A| = -10 ≠ 0, sabemos que o sistema tem uma solução única. Agora, vamos calcular os determinantes das matrizes substituídas para encontrar cada variável usando a Regra de Cramer.
Vamos chamar de A_x, A_y, A_z, e A_w as matrizes obtidas substituindo as colunas de x, y, z e w, respectivamente, pelos termos independentes (lado direito das equações).
Os termos independentes são: 1, 2, -1, 3.
Matriz A_x (substituindo a coluna de x):
Calculando |A_x|, seguindo o mesmo procedimento detalhado no Passo 3, obtemos |A_x| = 20.
Matriz A_y (substituindo a coluna de y):
Calculando |A_y|, obtemos |A_y| = -10.
Matriz A_z (substituindo a coluna de z):
Calculando |A_z|, obtemos |A_z| = -30.
Matriz A_w (substituindo a coluna de w):
Calculando |A_w|, obtemos |A_w| = 20.
Passo 5
Agora, aplicamos a Regra de Cramer para encontrar cada variável: