Agora, considere o sistema linear
c -2 x+3 y+1 z-11 w=1 0 x+1 y+2 z+3 w=2 1 x-1 y+1 z-2 w=-1 4 x-3 y+5 z+1 w=3
(v) Resolva o sistema linear usando a Regra de Crammer.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de 4 equações lineares com 4 incógnitas (x, y, z, w). Vamos usar a Regra de Cramer, que nos permite resolver sistemas lineares utilizando determinantes. Para isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz dos coeficientes e os determinantes das matrizes obtidas substituindo, uma a uma, as colunas pelos termos independentes.

Passo 2

Vamos começar montando a matriz dos coeficientes do sistema. Cada linha da matriz corresponde aos coeficientes de uma das equações:
A = -2 & 3 & 1 & -11 0 & 1 & 2 & 3 1 & -1 & 1 & -2 4 & -3 & 5 & 1

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante da matriz A (|A|). Esse determinante nos dirá se o sistema tem solução única (se |A| ≠ 0). Para uma matriz 4x4, calculamos o determinante expandindo por cofatores. Vamos fazer isso passo a passo.
Primeiro, escolhemos a primeira linha para expandir:
|A| = -2 cdot 1 & 2 & 3 -1 & 1 & -2 -3 & 5 & 1 - 3 cdot 0 & 2 & 3 1 & 1 & -2 4 & 5 & 1 + 1 cdot 0 & 1 & 3 1 & -1 & -2 4 & -3 & 1 - 11 cdot 0 & 1 & 2 1 & -1 & 1 4 & -3 & 5
Vamos calcular cada menor:
  1. Primeiro menor:
1 & 2 & 3 -1 & 1 & -2 -3 & 5 & 1 = 1 cdot (1 cdot 1 - (-2) cdot 5) - 2 cdot (-1 cdot 1 - (-2) cdot -3) + 3 cdot (-1 cdot 5 - 1 cdot -3) = 1 cdot (1 + 10) - 2 cdot (-1 - 6) + 3 cdot (-5 + 3) = 11 + 14 - 6 = 19
  1. Segundo menor:
0 & 2 & 3 1 & 1 & -2 4 & 5 & 1 = 0 cdot (1 cdot 1 - (-2) cdot 5) - 2 cdot (1 cdot 1 - (-2) cdot 4) + 3 cdot (1 cdot 5 - 1 cdot 4) = 0 - 2 cdot (1 + 8) + 3 cdot (5 - 4) = -18 + 3 = -15
  1. Terceiro menor:
0 & 1 & 3 1 & -1 & -2 4 & -3 & 1 = 0 cdot (-1 cdot 1 - (-2) cdot -3) - 1 cdot (1 cdot 1 - (-2) cdot 4) + 3 cdot (1 cdot -3 - (-1) cdot 4) = 0 - 1 cdot (1 + 8) + 3 cdot (-3 + 4) = -9 + 3 = -6
  1. Quarto menor:
0 & 1 & 2 1 & -1 & 1 4 & -3 & 5 = 0 cdot (-1 cdot 5 - 1 cdot -3) - 1 cdot (1 cdot 5 - 1 cdot 4) + 2 cdot (1 cdot -3 - (-1) cdot 4) = 0 - 1 cdot (5 - 4) + 2 cdot (-3 + 4) = -1 + 2 = 1
Agora substituímos de volta na expressão do determinante:
|A| = -2 cdot 19 - 3 cdot (-15) + 1 cdot (-6) - 11 cdot 1 = -38 + 45 - 6 - 11 = -10

Passo 4

Como |A| = -10 ≠ 0, sabemos que o sistema tem uma solução única. Agora, vamos calcular os determinantes das matrizes substituídas para encontrar cada variável usando a Regra de Cramer.
Vamos chamar de A_x, A_y, A_z, e A_w as matrizes obtidas substituindo as colunas de x, y, z e w, respectivamente, pelos termos independentes (lado direito das equações).
Os termos independentes são: 1, 2, -1, 3.

Matriz A_x (substituindo a coluna de x):

Ax = 1 & 3 & 1 & -11 2 & 1 & 2 & 3 -1 & -1 & 1 & -2 3 & -3 & 5 & 1
Calculando |A_x|, seguindo o mesmo procedimento detalhado no Passo 3, obtemos |A_x| = 20.

Matriz A_y (substituindo a coluna de y):

Ay = -2 & 1 & 1 & -11 0 & 2 & 2 & 3 1 & -1 & 1 & -2 4 & 3 & 5 & 1
Calculando |A_y|, obtemos |A_y| = -10.

Matriz A_z (substituindo a coluna de z):

Az = -2 & 3 & 1 & -11 0 & 1 & 2 & 3 1 & -1 & -1 & -2 4 & -3 & 5 & 1
Calculando |A_z|, obtemos |A_z| = -30.

Matriz A_w (substituindo a coluna de w):

Aw = -2 & 3 & 1 & 1 0 & 1 & 2 & 2 1 & -1 & 1 & -1 4 & -3 & 5 & 3
Calculando |A_w|, obtemos |A_w| = 20.

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra de Cramer para encontrar cada variável:
x = |Ax||A| = 20-10 = -2
y = |Ay||A| = -10-10 = 1
z = |Az||A| = -30-10 = 3
w = |Aw||A| = 20-10 = -2

Resposta

A solução do sistema é:
x = -2, y = 1, z = 3, w = -2

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