Discuta (diga se é possível ou impossível, determinado ou indeterminado) os sistemas lineares (em função de )

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem um sistema linear, que é basicamente um conjunto de equações com as mesmas variáveis. Aqui, são duas variáveis: e . O sistema depende de um parâmetro , que vai influenciar se o sistema tem solução ou não, e se essa solução é única ou tem várias possibilidades. Para resolver, vamos usar métodos de álgebra linear, como a eliminação de Gauss, para simplificar as equações e descobrir as condições para .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações:
Observamos que temos três equações com duas incógnitas, o que pode ser um pouco complicado, mas vamos tentar resolver.

Passo 3

Vamos focar nas duas últimas equações primeiro:
çãçã
Podemos resolver esse sistema menor para encontrar valores de e .

Passo 4

Da Equação 3, podemos isolar :

Passo 5

Agora, substituímos da equação (1) na Equação 2:

Passo 6

Com o valor de , voltamos à equação (1) para encontrar :

Passo 7

Agora que temos e , vamos substituir esses valores na Equação 1 do sistema original para verificar a condição para :

Passo 8

Multiplicando todos os termos por 7 para eliminar os denominadores:

Resposta

O sistema é determinado e tem uma única solução quando . Para outros valores de , o sistema é impossível, ou seja, não possui solução.

Exercícios relacionados

Resolva os sistemas abaixo (pelo método de Gauss-Jordan) escrevendo as matrizes ampliadas associadas aos novos sistemas. Reduza as matrizes ampliadas à forma escalonada reduzida, determine seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade.
Agora, considere o sistema linear
(v) Resolva o sistema linear usando a Regra de Crammer.
Decida quais dos seguintes conjuntos são linearmente independentes:
;
Resolva as equações:
(ii)