Discuta (diga se é possível ou impossível, determinado ou indeterminado) os sistemas lineares (em função de a ) l a x+2 y=1 3 x-y=-2 x+2 y=0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem um sistema linear, que é basicamente um conjunto de equações com as mesmas variáveis. Aqui, são duas variáveis: e . O sistema depende de um parâmetro , que vai influenciar se o sistema tem solução ou não, e se essa solução é única ou tem várias possibilidades. Para resolver, vamos usar métodos de álgebra linear, como a eliminação de Gauss, para simplificar as equações e descobrir as condições para .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações:
a x + 2 y = 1 3 x - y = -2 x + 2 y = 0
Observamos que temos três equações com duas incógnitas, o que pode ser um pouco complicado, mas vamos tentar resolver.

Passo 3

Vamos focar nas duas últimas equações primeiro:
3 x - y = -2 (Equação , 2) x + 2 y = 0 (Equação , 3) çãçã
Podemos resolver esse sistema menor para encontrar valores de e .

Passo 4

Da Equação 3, podemos isolar x = -2 y (1) :

Passo 5

Agora, substituímos 3 (-2 y) - y = -2 da equação (1) na Equação 2:
-6 y - y = -2
-7 y = -2
y = 27

Passo 6

Com o valor de x = -2 ( 27 ) = -47 , voltamos à equação (1) para encontrar :

Passo 7

Agora que temos a ( -47 ) + 2 ( 27 ) = 1 e -4a7 + 47 = 1 , vamos substituir esses valores na Equação 1 do sistema original para verificar a condição para :

Passo 8

Multiplicando todos os termos por 7 para eliminar os denominadores:
-4a + 4 = 7
-4a = 3
a = -34

Resposta

O sistema é determinado e tem uma única solução quando . Para outros valores de , o sistema é impossível, ou seja, não possui solução.

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