Fixado um sistema de coordenadas cartesiano, escreva a equação e esboce o gráfico: da parábola com vértice na origem e diretriz y=2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma parábola que tem o vértice na origem do sistema de coordenadas e cuja diretriz é a reta . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como a definição de parábola e a fórmula da distância entre pontos e retas.

Passo 2

Primeiro, lembra que uma parábola é o conjunto de pontos que estão à mesma distância de um ponto fixo chamado foco e de uma reta fixa chamada diretriz. No nosso caso, a diretriz é e o vértice está na origem .

Passo 3

Como o vértice está na origem e a diretriz é p = 2 - 02 = 1 , podemos encontrar o foco. A distância entre o vértice e a diretriz é . Essa distância é metade da distância total entre a diretriz e o foco. Então, temos:
Portanto, o foco está a uma distância abaixo da origem, ou seja, no ponto .

Passo 4

Sabendo o valor de x^2 = 4p y , podemos usar a equação padrão da parábola que abre para baixo (já que o foco está abaixo da diretriz):
x^2 = 4(-1)y implies x^2 = -4y
Substituindo (negativo porque a parábola abre para baixo):

Passo 5

Agora, vamos esboçar o gráfico. A parábola tem o vértice na origem , abre para baixo, passa pelo foco e é simétrica em relação ao eixo . A diretriz fica acima da parábola.

Resposta

A equação da parábola é .

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