Fixado um sistema de coordenadas cartesiano, escreva a equação e esboce o gráfico: da parábola com vértice na origem e diretriz
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma parábola que tem o vértice na origem do sistema de coordenadas e cuja diretriz é a reta
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como a definição de parábola e a fórmula da distância entre pontos e retas.
Passo 2
Primeiro, lembra que uma parábola é o conjunto de pontos que estão à mesma distância de um ponto fixo chamado foco e de uma reta fixa chamada diretriz. No nosso caso, a diretriz é
e o vértice está na origem
.
Passo 3
Como o vértice está na origem e a diretriz é
, podemos encontrar o foco. A distância entre o vértice e a diretriz é
. Essa distância é metade da distância total entre a diretriz e o foco. Então, temos:
Portanto, o foco está a uma distância
abaixo da origem, ou seja, no ponto
.
Passo 4
Sabendo o valor de
, podemos usar a equação padrão da parábola que abre para baixo (já que o foco está abaixo da diretriz):
Substituindo
(negativo porque a parábola abre para baixo):
Passo 5
Agora, vamos esboçar o gráfico. A parábola
tem o vértice na origem
, abre para baixo, passa pelo foco
e é simétrica em relação ao eixo
. A diretriz
fica acima da parábola.
Resposta
A equação da parábola é
.