Resolva os sistemas abaixo (pelo método de Gauss-Jordan) escrevendo as matrizes ampliadas associadas aos novos sistemas. Reduza as matrizes ampliadas à forma escalonada reduzida, determine seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Jordan. Primeiro, vamos entender o que temos aqui: temos três equações com três incógnitas , e . O conteúdo que a gente vai usar é a Álgebra Linear, especificamente o método de eliminação de Gauss-Jordan, que ajuda a encontrar soluções para sistemas lineares convertendo as equações em uma matriz aumentada e simplificando ela passo a passo. Para isso, vamos precisar usar operações com linhas de matrizes.
Passo 2
Vamos começar organizando o sistema em uma matriz aumentada. Isso significa que colocamos os coeficientes das incógnitas e os termos constantes em uma matriz. Nosso sistema:
Fica assim na matriz aumentada:
Passo 3
Agora, o objetivo é transformar essa matriz em uma forma escalonada reduzida. Primeiro, vamos deixar o primeiro elemento da primeira linha como 1 para facilitar. Podemos fazer isso dividindo toda a primeira linha por 3:
Passo 4
Vamos eliminar o das outras linhas. Para isso, subtraímos a primeira linha da segunda linha e duas vezes a primeira linha da terceira linha:
Nova linha 2: Linha 2 - Linha 1
Nova linha 3: Linha 3 - 2 × Linha 1
Ficando assim:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a segunda linha para ter um 1 no segundo pivô. Multiplicamos a segunda linha por :
Passo 6
Vamos eliminar o da terceira linha. Para isso, adicionamos vezes a segunda linha à terceira linha:
Passo 7
Agora, a matriz está na forma escalonada reduzida. Vamos verificar os postos:
Matriz A (coeficientes):
O posto de A é 2, pois temos duas linhas não nulas na forma escalonada.
Matriz A aumentada:
O posto da matriz aumentada também é 2.
Como os postos são iguais e menores que o número de incógnitas, o sistema é possível e indeterminado, ou seja, tem infinitas soluções. O grau de liberdade é 1, pois temos três incógnitas e duas equações independentes.
Resposta
O sistema é possível e indeterminado, com grau de liberdade igual a 1. As soluções podem ser expressas em função de uma variável livre , onde:
Para qualquer valor de , essas equações satisfazem o sistema original.