Resolva os sistemas abaixo (pelo método de Gauss-Jordan) escrevendo as matrizes ampliadas associadas aos novos sistemas. Reduza as matrizes ampliadas à forma escalonada reduzida, determine seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade. l3 x+2 y-12 z=0, x-y+z=0, 2 x-3 y+5 z=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Jordan. Primeiro, vamos entender o que temos aqui: temos três equações com três incógnitas , e . O conteúdo que a gente vai usar é a Álgebra Linear, especificamente o método de eliminação de Gauss-Jordan, que ajuda a encontrar soluções para sistemas lineares convertendo as equações em uma matriz aumentada e simplificando ela passo a passo. Para isso, vamos precisar usar operações com linhas de matrizes.

Passo 2

Vamos começar organizando o sistema em uma matriz aumentada. Isso significa que colocamos os coeficientes das incógnitas e os termos constantes em uma matriz. Nosso sistema:
3x + 2y - 12z = 0 x - y + z = 0 2x - 3y + 5z = 0
Fica assim na matriz aumentada:
3 & 2 & -12 & | & 0 1 & -1 & 1 & | & 0 2 & -3 & 5 & | & 0

Passo 3

Agora, o objetivo é transformar essa matriz em uma forma escalonada reduzida. Primeiro, vamos deixar o primeiro elemento da primeira linha como 1 para facilitar. Podemos fazer isso dividindo toda a primeira linha por 3:
1 & 23 & -4 & | & 0 1 & -1 & 1 & | & 0 2 & -3 & 5 & | & 0

Passo 4

Vamos eliminar o 1 & 23 & -4 & | & 0 0 & -53 & 5 & | & 0 0 & -73 & 13 & | & 0 das outras linhas. Para isso, subtraímos a primeira linha da segunda linha e duas vezes a primeira linha da terceira linha:
  • Nova linha 2: Linha 2 - Linha 1
  • Nova linha 3: Linha 3 - 2 × Linha 1
Ficando assim:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a segunda linha para ter um 1 no segundo pivô. Multiplicamos a segunda linha por 1 & 23 & -4 & | & 0 0 & 1 & -3 & | & 0 0 & -73 & 13 & | & 0 :

Passo 6

Vamos eliminar o 1 & 23 & -4 & | & 0 0 & 1 & -3 & | & 0 0 & 0 & 0 & | & 0 da terceira linha. Para isso, adicionamos vezes a segunda linha à terceira linha:

Passo 7

Agora, a matriz está na forma escalonada reduzida. Vamos verificar os postos:
  • Matriz A (coeficientes):
3 & 2 & -12 1 & -1 & 1 2 & -3 & 5
O posto de A é 2, pois temos duas linhas não nulas na forma escalonada.
  • Matriz A aumentada:
3 & 2 & -12 & | & 0 1 & -1 & 1 & | & 0 2 & -3 & 5 & | & 0
O posto da matriz aumentada também é 2.
Como os postos são iguais e menores que o número de incógnitas, o sistema é possível e indeterminado, ou seja, tem infinitas soluções. O grau de liberdade é 1, pois temos três incógnitas e duas equações independentes.

Resposta

O sistema é possível e indeterminado, com grau de liberdade igual a 1. As soluções podem ser expressas em função de uma variável livre x = 4t y = 3t z = t , onde:
Para qualquer valor de , essas equações satisfazem o sistema original.

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