Agora, usando as propriedades de derivadas e relações trigonométricas, diferencie as seguintes funções trigonométricas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que diferenciar a função trigonométrica
. Isso envolve derivadas, propriedades de funções trigonométricas como a tangente (
) e regras de derivação como a regra do quociente. Vamos precisar lembrar como derivar uma fração de funções e também como lidar com a derivada da tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para deixar mais fácil de trabalhar. Sabemos que
é o mesmo que
, e que
é
. Então, podemos reescrever
assim:
Isso vai facilitar na hora de aplicar as regras de derivação.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a regra do produto para derivar
. A regra do produto diz que se você tem uma função que é o produto de duas funções,
e
, então a derivada é:
No nosso caso,
e
. Vamos derivar cada uma dessas partes.
Passo 4
Primeiro, derivamos
. A derivada de
é 1 e a derivada de uma constante como 1 é 0. Então:
Passo 5
Agora, vamos derivar
. Sabemos que a derivada da
é:
Onde
é a função co-secante.
Passo 6
Com as derivadas de
e
em mãos, vamos aplicar a regra do produto:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 7
Agora, simplificamos a expressão:
Isso é a derivada simplificada da função original.
Resposta
A derivada da função é:
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Calcule a derivada das seguintes funções:
(1,0 ponto)