(1,0 ponto) integral44^raiz54 raiz1-4 x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é . Isso faz parte da matéria de cálculo, mais especificamente de integração. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição trigonométrica, que ajuda a simplificar integrais que envolvem raízes quadradas de polinômios.

Passo 2

Primeiro, simplificamos os limites de integração. integral1^raiz54 raiz1 - 4x^2 , dx é igual a 1, então a integral fica de 1 até :
Agora, observamos que dentro da raiz temos , que é similar a uma expressão do tipo , onde podemos aplicar uma substituição trigonométrica.

Passo 3

Vamos fazer a substituição integral raiz1 - u^2 cdot du2 = 12 integral raiz1 - u^2 , du . Isso significa que , ou seja, . Substituindo na integral, temos:
Essa substituição simplifica a expressão dentro da raiz, deixando-a no formato padrão para integração.

Passo 4

Agora, precisamos lembrar da fórmula de integração para integral raiz1 - u^2 , du = u2 raiz1 - u^2 + 12 arcsin(u) + C , que é:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Aplicando essa fórmula à nossa integral, temos:
12 ( u2 raiz1 - u^2 + 12 arcsin(u) ) + C = u4 raiz1 - u^2 + 14 arcsin(u) + C
Agora, precisamos avaliar essa expressão nos limites de integração.

Passo 6

Lembrando que fizemos [ u4 raiz1 - u^2 + 14 arcsin(u) ] g|2^raiz52 , os novos limites são:
  • Quando ,
  • Quando ,
Portanto, a integral definida fica:

Resposta

Substituindo os limites na expressão, temos:
( raiz524 raiz1 - (raiz52)^2 + 14 arcsin(raiz52) ) - ( 24 raiz1 - (2)^2 + 14 arcsin(2) )
Simplificando:
raiz58 raiz1 - 54 + 14 arcsin(raiz52) - ( 12 raiz1 - 4 + 14 arcsin(2) )
Calculando os valores:
raiz58 raiz-14 + 14 arcsin(raiz52) - ( 12 raiz-3 + 14 arcsin(2) )
Como temos raízes de números negativos e arcosen de valores fora do intervalo boxed raiz58 cdot i cdot 12 + 14 arcsin(raiz52) - ( 12 cdot i raiz3 + 14 arcsin(2) ) , o resultado final envolve números imaginários:

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Calcule a derivada das seguintes funções:
2x - 8x^4
Calcule a derivada das seguintes funções:
5^x
Agora, usando as propriedades de derivadas e relações trigonométricas, diferencie as seguintes funções trigonométricas:
g(x) = (x + 1) / tg(x)
(1,0 ponto ) integral-infty^0 x(x^2+1)^3 d x