Em agosto de 2006, Plutão foi reclassificado pela União Astronômica Internacional, passando a ser considerado um planeta-anão. A terceira Lei de Kepler diz que
, onde
é o tempo para um planeta completar uma volta em torno do Sol, e
é a média entre a maior e a menor distância do planeta ao Sol. No caso da Terra, essa média é
, enquanto que para Plutão
. A constante
é a mesma para todos os objetos em órbita em torno do Sol. A velocidade da luz no vácuo é igual a
.
b) Quantos anos terrestres Plutão leva para dar uma volta em torno do Sol? Expresse o resultado de forma aproximada como um número inteiro.
b) Quantos anos terrestres Plutão leva para dar uma volta em torno do Sol? Expresse o resultado de forma aproximada como um número inteiro.
Passo 1
Vamos resolver uma questão sobre a Lei de Kepler, especificamente a terceira lei, que relaciona o tempo que um planeta leva para dar uma volta ao redor do Sol com a distância média desse planeta ao Sol. No nosso exercício, queremos descobrir quantos anos terrestres Plutão leva para completar uma órbita ao redor do Sol. Para isso, usaremos a fórmula da terceira Lei de Kepler:
Onde:
- $ T $ é o tempo orbital,
- $ a $ é a distância média do planeta ao Sol,
- $ k $ é uma constante que é a mesma para todos os planetas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os valores que temos:
- Para a Terra:
- Distância média ($ a_T $) = $ 1,5 \times 10^{11} $ metros
- Tempo orbital ($ T_T $) = 1 ano terrestre
- Para Plutão:
- Distância média ($ a_P $) = $ 60 \times 10^{11} $ metros
Queremos descobrir o tempo orbital de Plutão ($ T_P $).
Passo 3
Como a constante $ k $ é a mesma para ambos os planetas, podemos relacionar as duas fórmulas da seguinte maneira:
Sabemos que $ T_T = 1 $ ano, então:
Passo 4
Vamos calcular a razão das distâncias:
Então:
Passo 5
Para encontrar $ T_P $, tiramos a raiz quadrada de 64.000:
Resposta
Plutão leva aproximadamente 253 anos terrestres para dar uma volta completa ao redor do Sol.