Em agosto de 2006, Plutão foi reclassificado pela União Astronômica Internacional, passando a ser considerado um planeta-anão. A terceira Lei de Kepler diz que T^2=k a^3, onde T é o tempo para um planeta completar uma volta em torno do Sol, e a é a média entre a maior e a menor distância do planeta ao Sol. No caso da Terra, essa média é aT=1,5 times 10^11 m, enquanto que para Plutão aP=60 times 10^11 m. A constante k é a mesma para todos os objetos em órbita em torno do Sol. A velocidade da luz no vácuo é igual a 3,0 times 10^8 m / s.
b) Quantos anos terrestres Plutão leva para dar uma volta em torno do Sol? Expresse o resultado de forma aproximada como um número inteiro.

Passo 1

Vamos resolver uma questão sobre a Lei de Kepler, especificamente a terceira lei, que relaciona o tempo que um planeta leva para dar uma volta ao redor do Sol com a distância média desse planeta ao Sol. No nosso exercício, queremos descobrir quantos anos terrestres Plutão leva para completar uma órbita ao redor do Sol. Para isso, usaremos a fórmula da terceira Lei de Kepler:
T^2 = k cdot a^3
Onde:
  • $ T $ é o tempo orbital,
  • $ a $ é a distância média do planeta ao Sol,
  • $ k $ é uma constante que é a mesma para todos os planetas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os valores que temos:
  • Para a Terra:
    • Distância média ($ a_T $) = $ 1,5 \times 10^{11} $ metros
    • Tempo orbital ($ T_T $) = 1 ano terrestre
  • Para Plutão:
    • Distância média ($ a_P $) = $ 60 \times 10^{11} $ metros
Queremos descobrir o tempo orbital de Plutão ($ T_P $).

Passo 3

Como a constante $ k $ é a mesma para ambos os planetas, podemos relacionar as duas fórmulas da seguinte maneira:
k
Sabemos que $ T_T = 1 $ ano, então:
TP^2TT^2 = aP^3aT^3

Passo 4

Vamos calcular a razão das distâncias:
aPaT = 60 times 10^111,5 times 10^11 = 40
Então:
TP^2 = 40^3 = 64,000

Passo 5

Para encontrar $ T_P $, tiramos a raiz quadrada de 64.000:
TP

Resposta

Plutão leva aproximadamente 253 anos terrestres para dar uma volta completa ao redor do Sol.

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