Demonstre, por meio da Segunda Lei de Kepler, que a relação vavp entre as velocidades de um planeta no afélio e no periélio, respectivamente, é
igual à relação rpra entre o raio de sua órbita no periélio e no afélio, respectivamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente mostrar, usando a Segunda Lei de Kepler, que a razão entre as velocidades de um planeta no afélio ( va) e no periélio ( vp) é igual à razão entre as distâncias do periélio ( rp) e do afélio ( ra). Ou seja, queremos provar que:
vavp = rpra
Para isso, vamos precisar entender o que é a Segunda Lei de Kepler e como ela se relaciona com o movimento dos planetas nas suas órbitas elípticas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Segunda Lei de Kepler, também conhecida como a Lei das Áreas. Ela diz que:
“A linha que liga um planeta ao Sol varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais.”
O que isso significa na prática? Imagina que o planeta está em diferentes pontos da sua órbita ao redor do Sol. Mesmo que a órbita não seja um círculo perfeito, a velocidade do planeta varia de acordo com a sua posição. No periélio (ponto mais próximo do Sol), o planeta se move mais rápido, e no afélio (ponto mais distante), ele se move mais devagar. Porém, a área varrida pela linha que liga o planeta ao Sol em um certo intervalo de tempo permanece constante.

Passo 3

Agora, vamos considerar a área varrida pela linha do planeta ao Sol em um pequeno intervalo de tempo. Se chamarmos esse tempo de De, a área varrida será aproximadamente um triângulo com base igual à distância do planeta ao Sol e altura igual à velocidade perpendicular à linha do Sol.
Matematicamente, podemos expressar a área varrida ( De) como:
De
Onde:
  • r é a distância do planeta ao Sol.
  • vperp é a componente da velocidade do planeta perpendicular à linha do Sol.
  • De é o intervalo de tempo.
Segundo a Segunda Lei de Kepler, essa área De é a mesma tanto no periélio quanto no afélio.

Passo 4

Vamos aplicar isso aos pontos de periélio e afélio.
No periélio:
  • A distância é rp.
  • A velocidade é vp, e como o movimento é no plano da órbita, a componente perpendicular é toda a velocidade, ou seja, vperp p = vp.
No afélio:
  • A distância é ra.
  • A velocidade é va, e novamente, a componente perpendicular é toda a velocidade, ou seja, vperp a = va.
Como as áreas varridas são iguais:
12 rp cdot vp cdot De
Podemos simplificar essa equação cancelando os termos comuns:
rp cdot vp = ra cdot va

Passo 5

Agora, vamos isolar a razão que queremos demonstrar:
vavp = rpra
Isso mostra exatamente o que o exercício pedia: que a razão entre as velocidades no afélio e no periélio é igual à razão entre as distâncias do periélio e do afélio.

Resposta

Portanto, usando a Segunda Lei de Kepler, demonstramos que:
vavp = rpra

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