Demonstre, por meio da Segunda Lei de Kepler, que a relação
entre as velocidades de um planeta no afélio e no periélio, respectivamente, é
igual à relação
entre o raio de sua órbita no periélio e no afélio, respectivamente.
igual à relação
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente mostrar, usando a Segunda Lei de Kepler, que a razão entre as velocidades de um planeta no afélio (
) e no periélio (
) é igual à razão entre as distâncias do periélio (
) e do afélio (
). Ou seja, queremos provar que:
Para isso, vamos precisar entender o que é a Segunda Lei de Kepler e como ela se relaciona com o movimento dos planetas nas suas órbitas elípticas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Segunda Lei de Kepler, também conhecida como a Lei das Áreas. Ela diz que:
“A linha que liga um planeta ao Sol varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais.”
O que isso significa na prática? Imagina que o planeta está em diferentes pontos da sua órbita ao redor do Sol. Mesmo que a órbita não seja um círculo perfeito, a velocidade do planeta varia de acordo com a sua posição. No periélio (ponto mais próximo do Sol), o planeta se move mais rápido, e no afélio (ponto mais distante), ele se move mais devagar. Porém, a área varrida pela linha que liga o planeta ao Sol em um certo intervalo de tempo permanece constante.
Passo 3
Agora, vamos considerar a área varrida pela linha do planeta ao Sol em um pequeno intervalo de tempo. Se chamarmos esse tempo de
, a área varrida será aproximadamente um triângulo com base igual à distância do planeta ao Sol e altura igual à velocidade perpendicular à linha do Sol.
Matematicamente, podemos expressar a área varrida (
) como:
Onde:
-
é a distância do planeta ao Sol. -
é a componente da velocidade do planeta perpendicular à linha do Sol. -
é o intervalo de tempo.
Segundo a Segunda Lei de Kepler, essa área
é a mesma tanto no periélio quanto no afélio.
Passo 4
Vamos aplicar isso aos pontos de periélio e afélio.
No periélio:
- A distância é
. - A velocidade é
, e como o movimento é no plano da órbita, a componente perpendicular é toda a velocidade, ou seja, .
No afélio:
- A distância é
. - A velocidade é
, e novamente, a componente perpendicular é toda a velocidade, ou seja, .
Como as áreas varridas são iguais:
Podemos simplificar essa equação cancelando os termos comuns:
Passo 5
Agora, vamos isolar a razão que queremos demonstrar:
Isso mostra exatamente o que o exercício pedia: que a razão entre as velocidades no afélio e no periélio é igual à razão entre as distâncias do periélio e do afélio.
Resposta
Portanto, usando a Segunda Lei de Kepler, demonstramos que: