Um planeta fictício orbita uma estrela similar ao Sol, seguindo as mesmas regras descritas pelas Leis de Kepler. Considere as seguintes informações:
- O semieixo maior da órbita do planeta é 2,5 vezes o da Terra.
- O período orbital da Terra é de 1 ano terrestre.
Responda as questões abaixo:
c) Usando a Terceira Lei de Kepler, determine o período orbital do planeta fictício em anos terrestres.
Dica: Lembre-se que
, onde
é o período orbital e a é o semieixo maior.
Responda as questões abaixo:
c) Usando a Terceira Lei de Kepler, determine o período orbital do planeta fictício em anos terrestres.
Dica: Lembre-se que
Passo 1
Vamos lá! A gente tem um planeta que está orbitando uma estrela igual ao Sol, seguindo as mesmas regras das Leis de Kepler. As informações que recebemos são:
- O semieixo maior da órbita desse planeta é 2,5 vezes o da Terra.
- O período orbital da Terra é de 1 ano terrestre.
Nosso objetivo aqui é usar a Terceira Lei de Kepler para descobrir qual é o período orbital desse planeta fictício em anos terrestres.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a Terceira Lei de Kepler. Ela nos diz que o quadrado do período orbital (T²) de um planeta é proporcional ao cubo do semieixo maior da sua órbita (a³). Ou seja:
Isso significa que podemos relacionar os períodos e os semieixos maiores comparando o planeta fictício com a Terra.
Passo 3
Sabemos que o semieixo maior da Terra é $ a_{Terra} $ e o período orbital da Terra é $ T_{Terra} = 1 $ ano. Para o planeta fictício, o semieixo maior é 2,5 vezes o da Terra, então:
Vamos substituir na fórmula da Terceira Lei de Kepler:
Passo 4
Substituindo os valores que conhecemos:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por $ 15,625 \times a_{Terra}^{3} $:
Passo 5
Agora, para encontrar $ T_{Planeta} $, basta tirar a raiz quadrada de ambos os lados:
Vamos calcular isso:
Resposta
O período orbital do planeta fictício é aproximadamente 3,95 anos terrestres.