Água a
escoa a
em um tubo horizontal que apresenta diâmetro de
. O gradiente de pressão é de
. (a) Determine a espessura da subcamada viscosa, (b) a velocidade do escoamento na linha de centro do tubo, © a razão entre a tensão de cisalhamento turbulenta e laminar,
no ponto médio entre a linha de centro e a parede do tubo (ou seja,
).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem água escoando num tubo horizontal com algumas características específicas. A matéria que entra aqui é de Mecânica dos Fluidos, mais precisamente sobre escoamento em tubos e conceitos de viscosidade. Para resolver as partes (a), (b) e ©, vamos precisar usar fórmulas relacionadas à camada viscosa, perfil de velocidade em tubos e tensões de cisalhamento em escoamentos laminar e turbulento.
Passo 2
Parte (a): Determinar a espessura da subcamada viscosa
Primeiro, a subcamada viscosa (ou camada limite) é uma região próxima à parede do tubo onde os efeitos da viscosidade são significativos. Para escoamentos turbulentos, a espessura dessa camada pode ser estimada usando a fórmula:
Onde:
-
é a viscosidade cinemática da água. -
é a velocidade de deslizamento na parede, relacionada à tensão de cisalhamento.
Mas para simplificar, em muitos casos práticos, a espessura da subcamada viscosa para escoamentos turbulentos em tubos pode ser estimada por:
Onde
é a velocidade de fricção.
Vamos precisar da viscosidade cinemática da água a
, que é aproximadamente
.
Passo 3
Para achar
, precisamos relacionar com o gradiente de pressão dado. A pressão diferencial está impulsionando o fluxo, então a tensão de cisalhamento na parede pode ser relacionada por:
Onde:
-
é a densidade da água, aproximadamente .
Dado o gradiente de pressão
, podemos relacionar com a tensão de cisalhamento usando a equação de Darcy-Weisbach para fluxo laminar:
Mas para escoamento turbulento, é mais complexo. Para simplificar, consideraremos que a tensão de cisalhamento
é equivalente ao gradiente de pressão multiplicado pelo raio do tubo:
Então:
Passo 4
Agora, usando
:
Agora, podemos calcular a espessura da subcamada viscosa:
Passo 5
Parte (b): Determinar a velocidade do escoamento na linha de centro do tubo
Para o escoamento em tubo, a velocidade na linha de centro (
) pode ser relacionada com a velocidade de deslizamento
pela relação típica de escoamento turbulento:
Então:
Passo 6
Parte ©: Determinar a razão entre a tensão de cisalhamento turbulenta e laminar,
no ponto médio
Primeiro, precisamos calcular
e
no ponto
.
Para escoamento laminar, a tensão de cisalhamento varia linearmente com a distância do centro:
Onde
. Então, em
:
Para escoamento turbulento, a tensão de cisalhamento geralmente segue uma relação não linear, mas para simplificação, vamos assumir que em escoamento turbulento a tensão de cisalhamento no ponto médio é aproximadamente a mesma que na parede devido à mistura intensa. Assim:
Então, a razão é:
Resposta
(a) A espessura da subcamada viscosa é aproximadamente
.
(b) A velocidade do escoamento na linha de centro do tubo é cerca de
.
© A razão entre a tensão de cisalhamento turbulenta e laminar no ponto médio é aproximadamente
.
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