Água a 20^circ C escoa a 0,04 m^3 / s em um tubo horizontal que apresenta diâmetro de 0,1 m. O gradiente de pressão é de 2,59 kPa / m. (a) Determine a espessura da subcamada viscosa, (b) a velocidade do escoamento na linha de centro do tubo, © a razão entre a tensão de cisalhamento turbulenta e laminar, tau turb / tau lam no ponto médio entre a linha de centro e a parede do tubo (ou seja, r=0,025 m ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem água escoando num tubo horizontal com algumas características específicas. A matéria que entra aqui é de Mecânica dos Fluidos, mais precisamente sobre escoamento em tubos e conceitos de viscosidade. Para resolver as partes (a), (b) e ©, vamos precisar usar fórmulas relacionadas à camada viscosa, perfil de velocidade em tubos e tensões de cisalhamento em escoamentos laminar e turbulento.

Passo 2

Parte (a): Determinar a espessura da subcamada viscosa
Primeiro, a subcamada viscosa (ou camada limite) é uma região próxima à parede do tubo onde os efeitos da viscosidade são significativos. Para escoamentos turbulentos, a espessura dessa camada pode ser estimada usando a fórmula:
de
Onde:
  • de é a viscosidade cinemática da água.
  • é a velocidade de deslizamento na parede, relacionada à tensão de cisalhamento.
Mas para simplificar, em muitos casos práticos, a espessura da subcamada viscosa para escoamentos turbulentos em tubos pode ser estimada por:
Onde é a velocidade de fricção.
Vamos precisar da viscosidade cinemática da água a , que é aproximadamente .

Passo 3

Para achar tauw = rho cdot u*^2 , precisamos relacionar com o gradiente de pressão dado. A pressão diferencial está impulsionando o fluxo, então a tensão de cisalhamento na parede pode ser relacionada por:
dPdx = 8 mu L Qpi R^4
Onde:
  • tauw = dPdx cdot R é a densidade da água, aproximadamente tauw = 2590, Pa/m times 0,05, m = 129,5, Pa .
Dado o gradiente de pressão , podemos relacionar com a tensão de cisalhamento usando a equação de Darcy-Weisbach para fluxo laminar:
Mas para escoamento turbulento, é mais complexo. Para simplificar, consideraremos que a tensão de cisalhamento é equivalente ao gradiente de pressão multiplicado pelo raio do tubo:
Então:

Passo 4

Agora, usando u* = raiztauwrho = raiz129,51000 approx 0,36, m/s :
de
Agora, podemos calcular a espessura da subcamada viscosa:

Passo 5

Parte (b): Determinar a velocidade do escoamento na linha de centro do tubo
Para o escoamento em tubo, a velocidade na linha de centro ( umax approx 11 cdot u* ) pode ser relacionada com a velocidade de deslizamento umax = 11 times 0,36, m/s approx 3,96, m/s pela relação típica de escoamento turbulento:
Então:

Passo 6

Parte ©: Determinar a razão entre a tensão de cisalhamento turbulenta e laminar, taulam(r) = tauw (1 - rR) no ponto médio
Primeiro, precisamos calcular taulam(0,025) = 129,5, Pa (1 - 0,0250,05) = 129,5, Pa times 0,5 = 64,75, Pa e tauturb(0,025) approx tauw = 129,5, Pa no ponto tauturbtaulam = 129,564,75 approx 2 .
Para escoamento laminar, a tensão de cisalhamento varia linearmente com a distância do centro:
Onde . Então, em :
Para escoamento turbulento, a tensão de cisalhamento geralmente segue uma relação não linear, mas para simplificação, vamos assumir que em escoamento turbulento a tensão de cisalhamento no ponto médio é aproximadamente a mesma que na parede devido à mistura intensa. Assim:
Então, a razão é:

Resposta

(a) A espessura da subcamada viscosa é aproximadamente .
(b) A velocidade do escoamento na linha de centro do tubo é cerca de .
© A razão entre a tensão de cisalhamento turbulenta e laminar no ponto médio é aproximadamente .

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