Água a está sendo forçada no interior de uma canalização de de diâmetro interno, de tal maneira que sua velocidade no centro da canalização seja de . Calcular a tensão de cisalhamento na parede.
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre a tensão de cisalhamento em uma canalização. O conteúdo aborda mecânica dos fluidos, especialmente o perfil de velocidade em tubos circulares e como a viscosidade do fluido influencia a tensão na parede da canalização. Para resolver, vamos precisar das fórmulas que relacionam a velocidade do fluido, a viscosidade e o raio da canalização.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o raio da canalização. O diâmetro interno é , então o raio é metade do diâmetro:
Passo 3
Precisamos converter a viscosidade de centipoise (cp) para Pascal-segundo (Pa·s), já que as unidades no Sistema Internacional são mais convenientes para nossos cálculos. Sabemos que:
Portanto:
Passo 4
O próximo passo é entender o perfil de velocidade do fluxo na canalização. Para um fluxo laminar em um tubo circular, a velocidade em relação ao raio é dada por:
Onde é a velocidade no centro da canalização.
Passo 5
A tensão de cisalhamento na parede da canalização está relacionada à derivada da velocidade em relação ao raio e à viscosidade do fluido:
Vamos calcular a derivada da velocidade:
dVdr = ddr [ Vc (1 - (rR)^2 ) ] = -2 Vc rR^2
Passo 6
Para encontrar a tensão de cisalhamento na parede da canalização, avaliamos a derivada no raio r = R:
dVdr|r=R = -2 Vc RR^2 = -2 VcR
Como a tensão de cisalhamento é positiva, descartamos o sinal negativo:
tauw = mu times 2 VcR
Passo 7
Agora, substituímos os valores encontrados nas fórmulas:
tauw = 0,8007 times 10^-3 Pa cdot s times 2 times 10^-2 m/s1,5 times 10^-3 m
Calculando:
tauw = 0,8007 times 10^-3 times 2 times 10^-21,5 times 10^-3 = 0,8007 times 10^-3 times 21,5 times 10^1 = 0,8007 times 43 times 10^-2 approx 1,07 times 10^-2 Pa
Resposta
A tensão de cisalhamento na parede da canalização é aproximadamente 1,07 times 10^-2 Pa.