Considere um Tê, peça utilizada em hidráulica para dividir correntes de fluido (às vezes, funciona também para misturar duas correntes, como em um misturador). Na entrada, de diâmetro D , temos água (considerada como fluido incompressível) com velocidade V. Na primeira saída, a velocidade média é Vs1 e o diâmetro é Ds1 e na segunda saída, a velocidade média é Vs2 e diâmetro Ds2. Sabendo-se que o regime é permanente, que o diâmetro D1 = 2 Ds1 = 4 Ds2, pede-se determinar a relação entre as velocidades Vs1 e Vs2 em função de V.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um Tê, que é tipo um “T” usado para dividir o fluxo de água em duas saídas. A gente tem um cano principal com diâmetro e velocidade . Esse cano se divide em duas saídas: uma com diâmetro e velocidade , e outra com diâmetro e velocidade . A gente também sabe que . Vamos usar a continuidade de fluxo, que diz que o fluxo total entra é igual ao fluxo total sai, e que a água é incompressível.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como os diâmetros estão relacionados. Sabemos que:
D1 = 2 Ds1
D1 = 4 Ds2
Isso significa que:
Ds1 = D12
Ds2 = D14

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a área de um cano é dada por:
A = pi D^24
Como a água é incompressível e o fluxo é constante, o fluxo que entra é igual à soma dos fluxos que saem:
Aentrada cdot V = As1 cdot Vs1 + As2 cdot Vs2

Passo 4

Vamos substituir as áreas em termos dos diâmetros:
pi D^24 cdot V = pi Ds1^24 cdot Vs1 + pi Ds2^24 cdot Vs2
Como todo mundo tem D^2 cdot V = Ds1^2 cdot Vs1 + Ds2^2 cdot Vs2 , podemos simplificar:

Passo 5

Substituindo D^2 cdot V = (D2)^2 cdot Vs1 + (D4)^2 cdot Vs2 e D^2 cdot V = D^24 cdot Vs1 + D^216 cdot Vs2 :
Calculando os quadrados:

Passo 6

Agora, podemos dividir tudo por V = Vs14 + Vs216 para simplificar:
16V = 4Vs1 + Vs2
Multiplicando tudo por 16 para eliminar os denominadores:

Passo 7

Queremos relacionar Vs2 = 16V - 4Vs1 e com , então podemos isolar uma das variáveis. Por exemplo, isolando :

Resposta

A relação entre as velocidades é .

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