Água é bombeada através de um tubo comercial de aço carbono, de 230 mm de diâmetro, por uma distância de 6400 m , desde a descarga da bomba (Ponto 1) até um reservatório aberto para a atmosfera. O nível da água no reservatório está 15 m acima da descarga da bomba, e a velocidade média da água no tubo é
. Calcule a pressão na descarga da bomba.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre fluxo de água em um tubo e precisamos descobrir a pressão na saída da bomba. O conteúdo que vamos usar aqui envolve mecânica dos fluidos, especificamente a equação de Bernoulli e o cálculo de perdas de carga no tubo. Para resolver, vamos precisar das fórmulas de Bernoulli, da equação de Darcy-Weisbach para perda de carga e algumas conversões de unidades. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender os dados que temos:
- Diâmetro do tubo (D): 230 mm = 0,23 m
- Comprimento do tubo (L): 6400 m
- Diferença de altura (Δz): 15 m
- Velocidade média da água (v): 3 m/s
Queremos achar a pressão na descarga da bomba (P₁). Sabemos que o reservatório está aberto à atmosfera, então a pressão no reservatório (P₂) é zero (pressiono atmosférico).
Passo 3
Vamos usar a equação de Bernoulli, que relaciona energia por unidade de volume entre dois pontos em um fluxo de fluido:
Onde:
-
é a pressão, -
é a densidade da água (aproximadamente ), -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a velocidade, -
é a altura, -
são as perdas de carga por atrito no tubo.
Como a água está saindo para o reservatório aberto,
. Vamos também assumir que o nível de referência
, então
.
Passo 4
Agora, precisamos calcular as perdas de carga (
) no tubo devido ao atrito. Para isso, usamos a equação de Darcy-Weisbach:
Onde
é o fator de atrito, que depende do regime de escoamento (laminar ou turbulento) e da rugosidade do tubo.
Primeiro, vamos calcular o Número de Reynolds (Re) para determinar o regime de escoamento:
Onde
é a viscosidade dinâmica da água (
).
Como
, o escoamento é turbulento.
Passo 5
Para escoamento turbulento, o fator de atrito
pode ser estimado usando a equação de Colebrook-White:
Assumindo um tubo de aço carbono comercial, a rugosidade (
) típica é cerca de
=
.
Essa equação é complicada para resolver manualmente, então usamos uma aproximação ou uma tabela. Para simplificar, vamos usar a aproximação de Swamee-Jain:
Substituindo os valores:
Calculando:
Passo 6
Agora que temos o fator de atrito
, vamos calcular as perdas de carga (
):
Calculando cada parte:
Então:
Passo 7
Vamos voltar à equação de Bernoulli e substituir os valores:
Simplificando:
Convertendo para bar (1 bar =
Pa):
Resposta
A pressão na descarga da bomba é aproximadamente 26,52 bar.