Água é bombeada através de um tubo comercial de aço carbono, de 230 mm de diâmetro, por uma distância de 6400 m , desde a descarga da bomba (Ponto 1) até um reservatório aberto para a atmosfera. O nível da água no reservatório está 15 m acima da descarga da bomba, e a velocidade média da água no tubo é 3 m / s. Calcule a pressão na descarga da bomba.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre fluxo de água em um tubo e precisamos descobrir a pressão na saída da bomba. O conteúdo que vamos usar aqui envolve mecânica dos fluidos, especificamente a equação de Bernoulli e o cálculo de perdas de carga no tubo. Para resolver, vamos precisar das fórmulas de Bernoulli, da equação de Darcy-Weisbach para perda de carga e algumas conversões de unidades. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender os dados que temos:
  • Diâmetro do tubo (D): 230 mm = 0,23 m
  • Comprimento do tubo (L): 6400 m
  • Diferença de altura (Δz): 15 m
  • Velocidade média da água (v): 3 m/s
Queremos achar a pressão na descarga da bomba (P₁). Sabemos que o reservatório está aberto à atmosfera, então a pressão no reservatório (P₂) é zero (pressiono atmosférico).

Passo 3

Vamos usar a equação de Bernoulli, que relaciona energia por unidade de volume entre dois pontos em um fluxo de fluido:
P1rho g + v1^22g + z1 = P2rho g + v2^22g + z2 + hL
Onde:
  • é a pressão,
  • é a densidade da água (aproximadamente ),
  • é a aceleração da gravidade ( ),
  • é a velocidade,
  • é a altura,
  • são as perdas de carga por atrito no tubo.
Como a água está saindo para o reservatório aberto, . Vamos também assumir que o nível de referência , então .

Passo 4

Agora, precisamos calcular as perdas de carga ( hL = f cdot LD cdot v^22g ) no tubo devido ao atrito. Para isso, usamos a equação de Darcy-Weisbach:
Re = rho v Dmu
Onde Re = 1000 times 3 times 0,230,001 = 690000 é o fator de atrito, que depende do regime de escoamento (laminar ou turbulento) e da rugosidade do tubo.
Primeiro, vamos calcular o Número de Reynolds (Re) para determinar o regime de escoamento:
Onde é a viscosidade dinâmica da água ( ).
Como , o escoamento é turbulento.

Passo 5

Para escoamento turbulento, o fator de atrito 1raizf = -2 log ( varepsilon/D3,7 + 2,51Re raizf ) pode ser estimado usando a equação de Colebrook-White:
f = 0,25 [ log ( varepsilon/D3,7 + 5,74Re^0,9 ) ]^-2
Assumindo um tubo de aço carbono comercial, a rugosidade ( f = 0,25 [ log ( 0,000045/0,233,7 + 5,74690000^0,9 ) ]^-2 ) típica é cerca de f approx 0,02 = .
Essa equação é complicada para resolver manualmente, então usamos uma aproximação ou uma tabela. Para simplificar, vamos usar a aproximação de Swamee-Jain:
Substituindo os valores:
Calculando:

Passo 6

Agora que temos o fator de atrito hL = 0,02 times 64000,23 times 3^22 times 9,81 , vamos calcular as perdas de carga ( 64000,23 approx 27826,09 ):
3^22 times 9,81 approx 0,459
Calculando cada parte:
hL = 0,02 times 27826,09 times 0,459 approx 255,28 , m
Então:

Passo 7

Vamos voltar à equação de Bernoulli e substituir os valores:
P11000 times 9,81 + 3^22 times 9,81 = 01000 times 9,81 + 3^22 times 9,81 + 15 + 255,28
Simplificando:
P19810 + 0,459 = 0 + 0,459 + 15 + 255,28
P19810 = 15 + 255,28
P19810 = 270,28
P1 = 270,28 times 9810 approx 2.651.638 , Pa
Convertendo para bar (1 bar = P1 approx 26,52 , bar Pa):

Resposta

A pressão na descarga da bomba é aproximadamente 26,52 bar.

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