Água é descarregada de um tanque cúbico de de aresta por um tubo de 5 cm e diâmetro. A vazão no tubo é . Determinar a velocidade de descida da superfície livre da água do tanque e, supondo desprezível a variação da vazão, determinar quanto tempo o nível da água levará para descer . (Valor: 2,0 pontos).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um tanque cúbico com aresta de 5 metros de comprimento. Esse tanque está descarregando água por um tubo de 5 cm de diâmetro, com uma vazão de . Nosso objetivo é descobrir duas coisas:
  1. A velocidade com que o nível da água está descendo no tanque.
  2. Quanto tempo levará para o nível da água descer 20 cm, assumindo que a vazão não muda.
    Vamos precisar usar conceitos de volume, área e taxa de variação. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o volume do tanque. Como ele é cúbico, o volume é dado por:
³
Mas aqui, na verdade, vamos precisar da área da base do tanque para relacionar com a taxa de variação do nível da água.

Passo 3

A área da base do tanque é:
²
Essa área vai nos ajudar a conectar a vazão da água com a velocidade de descida do nível.

Passo 4

Agora, vamos relacionar a vazão com a velocidade de descida do nível . A vazão é a quantidade de água que sai por segundo, e ela está ligada à variação do volume no tanque:
O volume muda conforme a altura da água muda, então:
Como a água está saindo, a vazão é negativa em relação ao aumento do volume:

Passo 5

Isolando a velocidade de descida :
Substituindo os valores:
³²
Ou seja, a água está descendo a uma velocidade de .

Passo 6

Agora, vamos calcular o tempo que leva para o nível da água descer 20 cm ( ):
Convertendo para minutos:

Resposta

A velocidade de descida do nível da água no tanque é de e o tempo necessário para o nível descer 20 cm é de aproximadamente 8,33 minutos.

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