Ar a 25^circ C escoa a M=1,9. Determine a velocidade do ar e o ângulo de Mach.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado diz que o ar está escoando a 25^circ C com um número de Mach M=1,9. Nosso objetivo aqui é descobrir duas coisas: a velocidade do ar e o ângulo de Mach. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre o número de Mach, a velocidade do som no ar e como esses conceitos se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o número de Mach. O número de Mach ( M) é uma medida que compara a velocidade de um objeto (neste caso, o ar) com a velocidade do som no meio em que ele está se movendo. A fórmula é:
M = vc
Onde:
  • v é a velocidade do objeto (velocidade do ar que queremos encontrar).
  • c é a velocidade do som no meio.

Passo 3

Para encontrar a velocidade do ar ( v), precisamos primeiro calcular a velocidade do som ( c) no ar a 25^circ C. A velocidade do som no ar pode ser calculada usando a seguinte fórmula:
c = raizgamma cdot R cdot T
Onde:
  • gamma é a razão de calores específicos (para o ar, gamma = 1,4).
  • R é a constante dos gases para o ar ( R = 287 , J/(kg·K)).
  • T é a temperatura absoluta em Kelvin.

Passo 4

Primeiro, vamos converter a temperatura de Celsius para Kelvin:
T = 25^circ C + 273,15 = 298,15 , K
Agora, substituímos os valores na fórmula da velocidade do som:
c = raiz1,4 cdot 287 , J/(kg·K) cdot 298,15 , K
Calculando dentro da raiz:
1,4 cdot 287 cdot 298,15 approx 1,4 cdot 287 cdot 298,15 approx 1,4 cdot 85508,05 approx 119,511,27
Então:
c = raiz119,511,27 approx 346 , m/s

Passo 5

Agora que temos a velocidade do som ( c approx 346 , m/s), podemos encontrar a velocidade do ar ( v) usando o número de Mach:
v = M cdot c = 1,9 cdot 346 , m/s approx 657,4 , m/s

Passo 6

Para encontrar o ângulo de Mach ( theta), usamos a relação:
sin(theta) = 1M
Então:
theta = arcsin(11,9)
Calculando:
11,9 approx 0,5263
theta approx arcsin(0,5263) approx 31,6^circ

Resposta

A velocidade do ar é aproximadamente 657,4 , m/s e o ângulo de Mach é de aproximadamente 31,6^circ.

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