No escoamento laminar de um fluido em condutos circulares, o diagrama de velocidades é representado pela equação abaixo, onde Vmax é a velocidade no eixo do conduto, R é o raio do conduto e r é um raio genérico para o qual a velocidade é genérica. Verificar que Vm / Vmax =0,5; sendo Vm é a velocidade média na seção.
V=Vmax [1-(rR)^2]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o escoamento laminar de um fluido em condutos circulares. A gente tem uma equação que descreve como a velocidade do fluido varia dependendo da distância do centro do tubo. Nosso objetivo é descobrir a relação entre a velocidade média na seção ( ) e a velocidade máxima no eixo do conduto ( ). Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a velocidade média a partir da distribuição de velocidades no tubo.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar a equação que descreve o diagrama de velocidades no escoamento laminar:
V = Vmax [1 - (rR)^2]
Aqui, é a velocidade em um ponto qualquer do tubo, é a velocidade no centro do tubo (onde ), é o raio do tubo e é a distância do ponto considerado até o centro.

Passo 3

Para encontrar a velocidade média ( Vm = 1A integralA V , dA ) na seção transversal do tubo, precisamos calcular a média de todas as velocidades ao longo da área. Como o tubo é circular, vamos usar coordenadas polares para facilitar a integração.
A fórmula para a velocidade média é:
Onde é a área da seção transversal do tubo.

Passo 4

Calculando a área do tubo:
A = pi R^2
Agora, expressamos dA = 2pi r , dr em coordenadas polares:
Vm = 1pi R^2 integral0^R Vmax [1 - (rR)^2] 2pi r , dr
Então, a integral para a velocidade média fica:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
Vm = 2 VmaxR^2 integral0^R [1 - (rR)^2] r , dr
Distribuindo Vm = 2 VmaxR^2 integral0^R ( r - r^3R^2 ) dr :

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral:
integral0^R r , dr = [r^22]0^R = R^22
integral0^R r^3R^2 , dr = 1R^2 [r^44]0^R = R^24

Passo 7

Substituindo os resultados das integrais na expressão de Vm = 2 VmaxR^2 ( R^22 - R^24 ) = 2 VmaxR^2 ( R^24 ) = 2 Vmax4 = Vmax2 :

Resposta

Então, a relação entre a velocidade média na seção e a velocidade máxima no eixo do conduto é:
VmVmax = 0,5

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