No escoamento laminar de um fluido em condutos circulares, o diagrama de velocidades é representado pela equação abaixo, onde é a velocidade no eixo do conduto, é o raio do conduto e é um raio genérico para o qual a velocidade é genérica. Verificar que ; sendo é a velocidade média na seção.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o escoamento laminar de um fluido em condutos circulares. A gente tem uma equação que descreve como a velocidade do fluido varia dependendo da distância do centro do tubo. Nosso objetivo é descobrir a relação entre a velocidade média na seção ( ) e a velocidade máxima no eixo do conduto ( ). Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a velocidade média a partir da distribuição de velocidades no tubo.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar a equação que descreve o diagrama de velocidades no escoamento laminar:
Aqui, é a velocidade em um ponto qualquer do tubo, é a velocidade no centro do tubo (onde ), é o raio do tubo e é a distância do ponto considerado até o centro.

Passo 3

Para encontrar a velocidade média ( ) na seção transversal do tubo, precisamos calcular a média de todas as velocidades ao longo da área. Como o tubo é circular, vamos usar coordenadas polares para facilitar a integração.
A fórmula para a velocidade média é:
Onde é a área da seção transversal do tubo.

Passo 4

Calculando a área do tubo:
Agora, expressamos em coordenadas polares:
Então, a integral para a velocidade média fica:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
Distribuindo :

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral:

Passo 7

Substituindo os resultados das integrais na expressão de :

Resposta

Então, a relação entre a velocidade média na seção e a velocidade máxima no eixo do conduto é:

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