No escoamento laminar de um fluido em condutos circulares, o diagrama de velocidades é representado pela equação abaixo, onde
é a velocidade no eixo do conduto,
é o raio do conduto e
é um raio genérico para o qual a velocidade é genérica. Verificar que
; sendo
é a velocidade média na seção.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o escoamento laminar de um fluido em condutos circulares. A gente tem uma equação que descreve como a velocidade do fluido varia dependendo da distância do centro do tubo. Nosso objetivo é descobrir a relação entre a velocidade média na seção (
) e a velocidade máxima no eixo do conduto (
). Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a velocidade média a partir da distribuição de velocidades no tubo.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar a equação que descreve o diagrama de velocidades no escoamento laminar:
Aqui,
é a velocidade em um ponto qualquer do tubo,
é a velocidade no centro do tubo (onde
),
é o raio do tubo e
é a distância do ponto considerado até o centro.
Passo 3
Para encontrar a velocidade média (
) na seção transversal do tubo, precisamos calcular a média de todas as velocidades ao longo da área. Como o tubo é circular, vamos usar coordenadas polares para facilitar a integração.
A fórmula para a velocidade média é:
Onde
é a área da seção transversal do tubo.
Passo 4
Calculando a área do tubo:
Agora, expressamos
em coordenadas polares:
Então, a integral para a velocidade média fica:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Distribuindo
:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral:
Passo 7
Substituindo os resultados das integrais na expressão de
:
Resposta
Então, a relação entre a velocidade média na seção e a velocidade máxima no eixo do conduto é: