A água se desloca com velocidade de
através de um tubo com área de seção transversal de
. A água desce gradualmente 10 m quando a área de seção transversal aumenta para
. (a) Qual é a velocidade no nível mais baixo? (b) Se a pressão no nível mais alto for
, qual é a pressão no nível mais baixo?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma situação onde a água está fluindo através de um tubo que muda de área de seção transversal. No início, a água tem uma velocidade de
em uma seção com área de
. Conforme a água desce 10 metros, a área da seção aumenta para
. Vamos precisar usar o Princípio da Continuidade para a parte (a) e a Equação de Bernoulli para a parte (b).
Passo 2
Para a parte (a), queremos encontrar a velocidade da água no nível mais baixo. O Princípio da Continuidade nos diz que, para um fluido incompressível como a água, o fluxo (produto da área pela velocidade) deve ser constante ao longo do tubo. Matemática, isso é:
Passo 3
Primeiro, vamos converter as áreas de centímetros quadrados para metros quadrados para manter as unidades consistentes:
Passo 4
Aplicando o Princípio da Continuidade:
Passo 5
Resolvendo para
:
Passo 6
Então, a velocidade no nível mais baixo é
.
Passo 7
Para a parte (b), queremos encontrar a pressão no nível mais baixo. Vamos usar a Equação de Bernoulli, que relaciona pressão, velocidade e altura em dois pontos de um fluido.
A Equação de Bernoulli é:
onde
é a densidade da água,
é a aceleração da gravidade, e
é a altura.
Assumindo que o nível mais alto é o ponto 1 e o nível mais baixo é o ponto 2, com
.
Passo 8
Como o ponto 2 está 10 metros mais baixo que o ponto 1, temos:
Substituindo na Equação de Bernoulli:
Passo 9
Simplificando a equação, os termos com
se cancelam:
Passo 10
Reorganizando para resolver
:
Passo 11
Assumindo
e
:
Resposta
(a) A velocidade no nível mais baixo é
.
(b) A pressão no nível mais baixo é
.