A água se desloca com velocidade de através de um tubo com área de seção transversal de . A água desce gradualmente 10 m quando a área de seção transversal aumenta para . (a) Qual é a velocidade no nível mais baixo? (b) Se a pressão no nível mais alto for , qual é a pressão no nível mais baixo?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma situação onde a água está fluindo através de um tubo que muda de área de seção transversal. No início, a água tem uma velocidade de em uma seção com área de . Conforme a água desce 10 metros, a área da seção aumenta para . Vamos precisar usar o Princípio da Continuidade para a parte (a) e a Equação de Bernoulli para a parte (b).

Passo 2

Para a parte (a), queremos encontrar a velocidade da água no nível mais baixo. O Princípio da Continuidade nos diz que, para um fluido incompressível como a água, o fluxo (produto da área pela velocidade) deve ser constante ao longo do tubo. Matemática, isso é:

Passo 3

Primeiro, vamos converter as áreas de centímetros quadrados para metros quadrados para manter as unidades consistentes:

Passo 4

Aplicando o Princípio da Continuidade:

Passo 5

Resolvendo para :

Passo 6

Então, a velocidade no nível mais baixo é .

Passo 7

Para a parte (b), queremos encontrar a pressão no nível mais baixo. Vamos usar a Equação de Bernoulli, que relaciona pressão, velocidade e altura em dois pontos de um fluido.
A Equação de Bernoulli é:
onde é a densidade da água, é a aceleração da gravidade, e é a altura.
Assumindo que o nível mais alto é o ponto 1 e o nível mais baixo é o ponto 2, com .

Passo 8

Como o ponto 2 está 10 metros mais baixo que o ponto 1, temos:
Substituindo na Equação de Bernoulli:

Passo 9

Simplificando a equação, os termos com se cancelam:

Passo 10

Reorganizando para resolver :

Passo 11

Assumindo e :

Resposta

(a) A velocidade no nível mais baixo é .
(b) A pressão no nível mais baixo é .

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