A água se desloca com velocidade de 5,0 m / s através de um tubo com área de seção transversal de 4,0 cm^2. A água desce gradualmente 10 m quando a área de seção transversal aumenta para 8,0 cm^2. (a) Qual é a velocidade no nível mais baixo? (b) Se a pressão no nível mais alto for 1,5 times 10^5 Pa, qual é a pressão no nível mais baixo?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma situação onde a água está fluindo através de um tubo que muda de área de seção transversal. No início, a água tem uma velocidade de em uma seção com área de . Conforme a água desce 10 metros, a área da seção aumenta para . Vamos precisar usar o Princípio da Continuidade para a parte (a) e a Equação de Bernoulli para a parte (b).

Passo 2

Para a parte (a), queremos encontrar a velocidade da água no nível mais baixo. O Princípio da Continuidade nos diz que, para um fluido incompressível como a água, o fluxo (produto da área pela velocidade) deve ser constante ao longo do tubo. Matemática, isso é:
A1 V1 = A2 V2

Passo 3

Primeiro, vamos converter as áreas de centímetros quadrados para metros quadrados para manter as unidades consistentes:
4,0 , cm^2 = 4,0 times 10^-4 , m^2
8,0 , cm^2 = 8,0 times 10^-4 , m^2

Passo 4

Aplicando o Princípio da Continuidade:
A1 V1 = A2 V2
4,0 times 10^-4 , m^2 times 5,0 , m/s = 8,0 times 10^-4 , m^2 times V2

Passo 5

Resolvendo para V2 = 4,0 times 10^-4 , m^2 times 5,0 , m/s8,0 times 10^-4 , m^2 = 2,0 times 10^-3 , m^3/s8,0 times 10^-4 , m^2 = 2,5 , m/s :

Passo 6

Então, a velocidade no nível mais baixo é .

Passo 7

Para a parte (b), queremos encontrar a pressão no nível mais baixo. Vamos usar a Equação de Bernoulli, que relaciona pressão, velocidade e altura em dois pontos de um fluido.
A Equação de Bernoulli é:
P1 + 12 rho V1^2 + rho g h1 = P2 + 12 rho V2^2 + rho g h2
onde é a densidade da água, é a aceleração da gravidade, e é a altura.
Assumindo que o nível mais alto é o ponto 1 e o nível mais baixo é o ponto 2, com .

Passo 8

Como o ponto 2 está 10 metros mais baixo que o ponto 1, temos:
h2 = h1 - 10 , m
Substituindo na Equação de Bernoulli:
1,5 times 10^5 , Pa + 12 rho (5,0)^2 + rho g h1 = P2 + 12 rho (2,5)^2 + rho g (h1 - 10)

Passo 9

Simplificando a equação, os termos com 1,5 times 10^5 + 12 rho (25) = P2 + 12 rho (6,25) + rho g (-10) se cancelam:

Passo 10

Reorganizando para resolver P2 = 1,5 times 10^5 + 12 rho (25 - 6,25) + rho g (10) :

Passo 11

Assumindo P2 = 1,5 times 10^5 + 12 times 1000 times 18,75 + 1000 times 9,81 times 10 e P2 = 1,5 times 10^5 + 9,375 times 10^3 + 9,81 times 10^4 :
P2 = 150000 + 9375 + 98100 = 258475 , Pa

Resposta

(a) A velocidade no nível mais baixo é .
(b) A pressão no nível mais baixo é .

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