Uma esfera oca de raio interno e raio externo flutua com metade de seu volume submersa em um líquido de densidade . (a) Qual é a massa da esfera? (b) Calcule a densidade do material com o qual a esfera é feita.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que trata de hidrostática, especificamente sobre flutuabilidade e densidade. Precisamos encontrar a massa da esfera e a densidade do material com que ela é feita. Para isso, vamos usar conceitos de volume de esferas, força de empuxo e equilíbrio de forças.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o volume total da esfera oca. Uma esfera oca tem volume igual à diferença entre o volume da esfera externa e a interna. A fórmula do volume de uma esfera é:
Onde é o raio.

Passo 3

Calculando o volume externo ( ) e o volume interno ( ):
(Note que converti os centímetros para metros para manter as unidades consistentes.)

Passo 4

Vamos encontrar o volume da casca da esfera:
Calculando os valores:

Passo 5

Sabemos que a esfera flutua com metade do seu volume submersa. Isso significa que o empuxo (força para cima) iguala metade do volume da esfera multiplicado pela densidade do líquido e pela aceleração da gravidade.
A condição de equilíbrio é:
í
Onde:
  • í

Passo 6

Podemos simplificar a equação, já que aparece em ambos os lados:
í
Substituindo os valores:

Passo 7

Agora, para encontrar a densidade do material da esfera, usamos a definição de densidade:
Substituindo os valores que já encontramos:

Resposta

(a) A massa da esfera é aproximadamente 0,116 kg.
(b) A densidade do material da esfera é 400 kg/m³.

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