Uma esfera oca de raio interno
e raio externo
flutua com metade de seu volume submersa em um líquido de densidade
. (a) Qual é a massa da esfera? (b) Calcule a densidade do material com o qual a esfera é feita.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que trata de hidrostática, especificamente sobre flutuabilidade e densidade. Precisamos encontrar a massa da esfera e a densidade do material com que ela é feita. Para isso, vamos usar conceitos de volume de esferas, força de empuxo e equilíbrio de forças.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o volume total da esfera oca. Uma esfera oca tem volume igual à diferença entre o volume da esfera externa e a interna. A fórmula do volume de uma esfera é:
Onde
é o raio.
Passo 3
Calculando o volume externo (
) e o volume interno (
):
(Note que converti os centímetros para metros para manter as unidades consistentes.)
Passo 4
Vamos encontrar o volume da casca da esfera:
Calculando os valores:
Passo 5
Sabemos que a esfera flutua com metade do seu volume submersa. Isso significa que o empuxo (força para cima) iguala metade do volume da esfera multiplicado pela densidade do líquido e pela aceleração da gravidade.
A condição de equilíbrio é:
Onde:
Passo 6
Podemos simplificar a equação, já que
aparece em ambos os lados:
Substituindo os valores:
Passo 7
Agora, para encontrar a densidade do material da esfera, usamos a definição de densidade:
Substituindo os valores que já encontramos:
Resposta
(a) A massa da esfera é aproximadamente 0,116 kg.
(b) A densidade do material da esfera é 400 kg/m³.