Uma esfera oca de raio interno 8,0 cm e raio externo 9,0 cm flutua com metade de seu volume submersa em um líquido de densidade 800 kg / m^3. (a) Qual é a massa da esfera? (b) Calcule a densidade do material com o qual a esfera é feita.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que trata de hidrostática, especificamente sobre flutuabilidade e densidade. Precisamos encontrar a massa da esfera e a densidade do material com que ela é feita. Para isso, vamos usar conceitos de volume de esferas, força de empuxo e equilíbrio de forças.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o volume total da esfera oca. Uma esfera oca tem volume igual à diferença entre o volume da esfera externa e a interna. A fórmula do volume de uma esfera é:
V = 43 pi r^3
Onde é o raio.

Passo 3

Calculando o volume externo ( Vex = 43 pi (0,09, m)^3 ) e o volume interno ( Vin = 43 pi (0,08, m)^3 ):
(Note que converti os centímetros para metros para manter as unidades consistentes.)

Passo 4

Vamos encontrar o volume da casca da esfera:
Vcasca = Vex - Vin = 43 pi (0,09^3 - 0,08^3)
Calculando os valores:
Vcasca = 43 pi (0,000729 - 0,000512) = 43 pi (0,000217) approx 0,000289 , m^3

Passo 5

Sabemos que a esfera flutua com metade do seu volume submersa. Isso significa que o empuxo (força para cima) iguala metade do volume da esfera multiplicado pela densidade do líquido e pela aceleração da gravidade.
A condição de equilíbrio é:
Empuxo = Peso da esfera
Vcasca2 cdot rholíquido cdot g = m cdot g í
Onde:
  • í

Passo 6

Podemos simplificar a equação, já que Vcasca2 cdot rholíquido = m aparece em ambos os lados:
m = 0,0002892 cdot 800 approx 0,0001445 cdot 800 = 0,1156 , kg í
Substituindo os valores:

Passo 7

Agora, para encontrar a densidade do material da esfera, usamos a definição de densidade:
rho = mVcasca
Substituindo os valores que já encontramos:
rho = 0,11560,000289 approx 400 , kg/m^3

Resposta

(a) A massa da esfera é aproximadamente 0,116 kg.
(b) A densidade do material da esfera é 400 kg/m³.

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