Suponha que você abandona uma pequena bola a partir do repouso em uma profundidade de
abaixo da superfície em uma piscina com água. Se a densidade da bola for
a da água e se a força de arrasto da água sobre a bola for desprezível, que altura acima da superfície da água a bola atinge? (Despreze qualquer transferência de energia para as ondas e respingos de água provocados pela bola ao emergir.)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! Você tem uma bola que é solta da água a uma profundidade de 0,600 metros abaixo da superfície. A densidade da bola é 0,300 vezes a densidade da água. Queremos descobrir qual a altura máxima que a bola alcança acima da superfície da água. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de densidade, empuxo de Archimedes e conservação de energia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é densidade. Densidade é a relação entre a massa de um objeto e o volume que ele ocupa, dada pela fórmula:
Onde:
-
é a densidade, -
é a massa, -
é o volume.
Sabemos que a densidade da bola (
) é 0,300 vezes a densidade da água (
). Então:
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o empuxo de Archimedes. Esse é o empurrão que a água exerce para cima na bola, e ele é igual ao peso do volume de água deslocado pela bola. A fórmula do empuxo (
) é:
Onde:
-
é o volume da bola, -
é a aceleração da gravidade (aproximadamente ).
Passo 4
O peso da bola (
) é calculado pela fórmula:
Substituindo
pela expressão em termos da densidade da água:
Passo 5
O força líquida que age sobre a bola para cima é a diferença entre o empuxo e o peso:
Substituindo
:
Passo 6
Agora, vamos usar a conservação de energia. A energia fornecida pela força líquida ao longo da distância que a bola vai subir é igual à energia potencial gravitacional que a bola ganha ao subir até a altura máxima
.
Substituindo
:
Simplificando os termos:
Passo 7
Vamos resolver a equação para
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por
:
No entanto, percebemos que houve um erro na simplificação. Vamos corrigir isso.
Passo 8
Retomando a equação correta:
Subtraindo
de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por
:
O valor negativo indica que a altura
acima da superfície é 0,600 metros.
Resposta
A bola atinge uma altura máxima de 0,600 metros acima da superfície da água.
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