Um tanque cilíndrico com um grande diâmetro é preenchido com água até uma profundidade
. Um furo de seção transversal de área
no fundo do tanque permite a drenagem da água. (a) Qual é a vazão com que a água é drenada, em metros cúbicos por segundo? (b) A que distância abaixo do fundo do tanque a área da seção transversal da corrente se iguala à metade da área do furo?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um tanque cilíndrico cheio de água até uma profundidade de
. No fundo do tanque, tem um furo com área de seção transversal
que vai deixar a água drenar. Vamos usar conceitos de hidrodinâmica, especificamente a Lei de Torricelli, para calcular a vazão da água que está saindo do furo e descobrir a distância em que a área da corrente diminui para metade.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a vazão da água que está sendo drenada pelo furo. A vazão
é dada por:
onde
é a velocidade da água saindo pelo furo. Segundo a Lei de Torricelli, a velocidade
é:
Aqui,
é a aceleração da gravidade e
é a altura da coluna de água.
Primeiro, vamos converter a área do furo para metros quadrados:
Agora, calculamos a velocidade:
Então, a vazão é:
Passo 3
Agora, vamos resolver a parte (b): determinar a distância
abaixo do fundo do tanque onde a área da seção transversal da corrente é metade da área do furo, ou seja,
.
Sabemos que a vazão
deve permanecer constante, então:
Substituindo
:
A velocidade
em um ponto a uma distância
abaixo do furo é dada por:
Então, temos:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Substituindo
:
Simplificando:
Então:
Resposta
(a) A vazão da água drenada é aproximadamente
.
(b) A distância é de
abaixo do fundo do tanque.