Um tanque cilíndrico com um grande diâmetro é preenchido com água até uma profundidade . Um furo de seção transversal de área no fundo do tanque permite a drenagem da água. (a) Qual é a vazão com que a água é drenada, em metros cúbicos por segundo? (b) A que distância abaixo do fundo do tanque a área da seção transversal da corrente se iguala à metade da área do furo?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um tanque cilíndrico cheio de água até uma profundidade de . No fundo do tanque, tem um furo com área de seção transversal que vai deixar a água drenar. Vamos usar conceitos de hidrodinâmica, especificamente a Lei de Torricelli, para calcular a vazão da água que está saindo do furo e descobrir a distância em que a área da corrente diminui para metade.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a vazão da água que está sendo drenada pelo furo. A vazão é dada por:
onde é a velocidade da água saindo pelo furo. Segundo a Lei de Torricelli, a velocidade é:
Aqui, é a aceleração da gravidade e é a altura da coluna de água.
Primeiro, vamos converter a área do furo para metros quadrados:
Agora, calculamos a velocidade:
Então, a vazão é:

Passo 3

Agora, vamos resolver a parte (b): determinar a distância abaixo do fundo do tanque onde a área da seção transversal da corrente é metade da área do furo, ou seja, .
Sabemos que a vazão deve permanecer constante, então:
Substituindo :
A velocidade em um ponto a uma distância abaixo do furo é dada por:
Então, temos:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Substituindo :
Simplificando:
Então:

Resposta

(a) A vazão da água drenada é aproximadamente .
(b) A distância é de abaixo do fundo do tanque.

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