Um tanque cilíndrico com um grande diâmetro é preenchido com água até uma profundidade D=0,30 m. Um furo de seção transversal de área A=6,5 cm^2 no fundo do tanque permite a drenagem da água. (a) Qual é a vazão com que a água é drenada, em metros cúbicos por segundo? (b) A que distância abaixo do fundo do tanque a área da seção transversal da corrente se iguala à metade da área do furo?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um tanque cilíndrico cheio de água até uma profundidade de . No fundo do tanque, tem um furo com área de seção transversal que vai deixar a água drenar. Vamos usar conceitos de hidrodinâmica, especificamente a Lei de Torricelli, para calcular a vazão da água que está saindo do furo e descobrir a distância em que a área da corrente diminui para metade.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a vazão da água que está sendo drenada pelo furo. A vazão Q = A times v é dada por:
v = raiz2gD
onde A = 6,5 , cm^2 = 6,5 times 10^-4 , m^2 é a velocidade da água saindo pelo furo. Segundo a Lei de Torricelli, a velocidade v = raiz2 times 9,81 times 0,30 approx raiz5,886 approx 2,426 , m/s é:
Q = 6,5 times 10^-4 times 2,426 approx 1,577 times 10^-3 , m^3/s
Aqui, é a aceleração da gravidade e é a altura da coluna de água.
Primeiro, vamos converter a área do furo para metros quadrados:
Agora, calculamos a velocidade:
Então, a vazão é:

Passo 3

Agora, vamos resolver a parte (b): determinar a distância A times v = a times vy abaixo do fundo do tanque onde a área da seção transversal da corrente é metade da área do furo, ou seja, A times v = A2 times vy implies vy = 2v .
Sabemos que a vazão vy = raiz2g(D + y) deve permanecer constante, então:
2v = raiz2g(D + y)
Substituindo 4v^2 = 2g(D + y) :
4 times 2gD = 2g(D + y) implies 8gD = 2gD + 2gy
A velocidade 8D = 2D + 2y implies 6D = 2y implies y = 3D em um ponto a uma distância y = 3 times 0,30 , m = 0,90 , m abaixo do furo é dada por:
Então, temos:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Substituindo :
Simplificando:
Então:

Resposta

(a) A vazão da água drenada é aproximadamente .
(b) A distância é de abaixo do fundo do tanque.

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