Água doce flui horizontalmente da seção 1 de uma tubulação de área de seção transversal
para a seção 2 de área de seção transversal
. A Fig. 14-49 fornece um gráfico da diferença de pressão
em função do inverso do quadrado da área
que seria esperado para uma vazão de certo valor se o escoamento fosse laminar sob todas as circunstâncias. Para as condições da figura, quais são os valores de (a)
e (b) da vazão?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre água doce que está fluindo de uma tubulação com duas seções diferentes, chamadas de seção 1 e seção 2, com áreas de
e
, respectivamente. A gente tem um gráfico que relaciona a diferença de pressão (
) com o inverso do quadrado da área da seção 1 (
). A pergunta quer que a gente descubra dois valores: (a) a área
da seção 2 e (b) a vazão da água nesse sistema. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinamica dos fluidos, especialmente relacionados ao fluxo laminar e à continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei da Continuidade, que diz que a vazão (
) é constante em qualquer ponto de um tubo fechado. Isso significa que:
Onde
e
são as velocidades da água nas seções 1 e 2, respectivamente. Como a água está fluindo de uma seção maior para uma menor (ou vice-versa), a velocidade vai mudar de acordo com a área.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o fluxo laminar. Nesse tipo de fluxo, a diferença de pressão (
) está relacionada à vazão pela equação de Hagen-Poiseuille, que para tubos horizontais e fluxo laminar é dada por:
Aqui,
é a viscosidade do fluido,
é o comprimento do tubo, e
é o raio da seção transversal. No nosso caso, podemos adaptar essa fórmula para relacionar
com
, já que
.
Passo 4
Vamos adaptar a equação para a nossa situação. Sabendo que
, podemos reescrever a relação de pressão em termos da área:
Onde
é uma constante que inclui todos os outros parâmetros como viscosidade, comprimento do tubo, etc. Isso mostra que a diferença de pressão é inversamente proporcional ao quadrado da área da seção 1.
Passo 5
Usando o gráfico fornecido, que relaciona
com
, podemos identificar que a relação é linear, confirmando nossa equação. Para encontrar
, precisamos de mais informações específicas do gráfico, como o ponto correspondente à seção 2. No entanto, supondo que temos essa informação, podemos usar a mesma relação para determinar
.
Passo 6
Para encontrar a vazão
, vamos rearranjar a equação da diferença de pressão:
Como
e
são conhecidos a partir do gráfico, substituímos esses valores para calcular
.
Resposta
(a) A área
da seção 2 é [valor calculado a partir do gráfico].
(b) A vazão da água no sistema é [valor calculado a partir da equação].
(b) A vazão da água no sistema é [valor calculado a partir da equação].