Água doce flui horizontalmente da seção 1 de uma tubulação de área de seção transversal A1 para a seção 2 de área de seção transversal A2. A Fig. 14-49 fornece um gráfico da diferença de pressão p2-p1 em função do inverso do quadrado da área A1^-2 que seria esperado para uma vazão de certo valor se o escoamento fosse laminar sob todas as circunstâncias. Para as condições da figura, quais são os valores de (a) A2 e (b) da vazão?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre água doce que está fluindo de uma tubulação com duas seções diferentes, chamadas de seção 1 e seção 2, com áreas de A1 e A2, respectivamente. A gente tem um gráfico que relaciona a diferença de pressão ( p2 - p1) com o inverso do quadrado da área da seção 1 ( A1^-2). A pergunta quer que a gente descubra dois valores: (a) a área A2 da seção 2 e (b) a vazão da água nesse sistema. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinamica dos fluidos, especialmente relacionados ao fluxo laminar e à continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei da Continuidade, que diz que a vazão ( Q) é constante em qualquer ponto de um tubo fechado. Isso significa que:
Q = A1 cdot v1 = A2 cdot v2
Onde v1 e v2 são as velocidades da água nas seções 1 e 2, respectivamente. Como a água está fluindo de uma seção maior para uma menor (ou vice-versa), a velocidade vai mudar de acordo com a área.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o fluxo laminar. Nesse tipo de fluxo, a diferença de pressão ( De) está relacionada à vazão pela equação de Hagen-Poiseuille, que para tubos horizontais e fluxo laminar é dada por:
De
Aqui, mu é a viscosidade do fluido, L é o comprimento do tubo, e r é o raio da seção transversal. No nosso caso, podemos adaptar essa fórmula para relacionar De com A1, já que A = pi r^2.

Passo 4

Vamos adaptar a equação para a nossa situação. Sabendo que A = pi r^2, podemos reescrever a relação de pressão em termos da área:
De
Onde k é uma constante que inclui todos os outros parâmetros como viscosidade, comprimento do tubo, etc. Isso mostra que a diferença de pressão é inversamente proporcional ao quadrado da área da seção 1.

Passo 5

Usando o gráfico fornecido, que relaciona De com A1^-2, podemos identificar que a relação é linear, confirmando nossa equação. Para encontrar A2, precisamos de mais informações específicas do gráfico, como o ponto correspondente à seção 2. No entanto, supondo que temos essa informação, podemos usar a mesma relação para determinar A2.

Passo 6

Para encontrar a vazão Q, vamos rearranjar a equação da diferença de pressão:
Q = De
Como De e A1 são conhecidos a partir do gráfico, substituímos esses valores para calcular Q.

Resposta

(a) A área A2 da seção 2 é [valor calculado a partir do gráfico].
(b) A vazão da água no sistema é [valor calculado a partir da equação].

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