Suponha que dois tanques, 1 e 2 , cada um com uma grande abertura no topo, contenham líquidos diferentes. Um pequeno furo é feito no lado de cada tanque na mesma profundidade
abaixo da superfície do líquido, mas o furo no tanque 1 tem metade da área de seção transversal do tanque 2. (a) Qual é a razão
entre as densidades dos líquidos se a vazão de massa é a mesma para os dois furos? (b) Qual é a razão
entre as vazões dos dois tanques? © Em um dado instante, o líquido no tanque 1 está
acima do furo. Se os tanques devem ter vazões iguais, a que altura acima do furo o líquido no tanque 2 deve estar neste instante?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos dois tanques, o Tanque 1 e o Tanque 2, cada um com líquidos diferentes. Em cada tanque, foi feito um pequeno furo a uma mesma profundidade
abaixo da superfície do líquido. O furo no Tanque 1 tem metade da área de seção transversal do furo no Tanque 2. Precisamos responder três perguntas:
a) Qual é a razão entre as densidades dos líquidos (
) se a vazão de massa é a mesma para os dois furos?
b) Qual é a razão entre as vazões dos dois tanques (
)?
c) Se o líquido no Tanque 1 está
acima do furo, a que altura o líquido no Tanque 2 deve estar para que as vazões sejam iguais?
Para resolver, vamos precisar dos conceitos de tensão superficial, velocidade de escoamento dos fluidos e equações de continuidade. Vamos usar a equação de Torricelli para a velocidade de saída do líquido e a relação entre vazão de massa e densidade.
Passo 2
Parte a: Encontrar a razão entre as densidades (
)
Primeiro, lembramos que a vazão de massa (
) é dada por:
Onde:
-
é a densidade do líquido, -
é a área do furo, -
é a velocidade do líquido saindo pelo furo.
A velocidade
do líquido pode ser calculada usando a equação de Torricelli:
Onde:
-
é a aceleração da gravidade, -
é a altura do líquido acima do furo.
Como a profundidade
é a mesma para ambos os tanques, a velocidade
será a mesma. Queremos que as vazões de massa sejam iguais:
Como
é igual nos dois casos, podemos simplificar:
Sabemos que
, então substituindo:
Dividindo ambos os lados por
:
Portanto:
Passo 3
Parte b: Encontrar a razão entre as vazões (
)
A vazão volumétrica (
) é dada por:
Usando a equação de Torricelli para
:
Queremos encontrar a razão
:
Se assumirmos que as profundidades
são iguais (
):
Então, a razão entre as vazões é
.
Passo 4
Parte c: Determinar a altura
quando
Queremos que as vazões de massa sejam iguais:
Usando a fórmula da vazão de massa:
Já sabemos que
e
. Substituindo:
Simplificando:
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Portanto,
.
Resposta
a) A razão entre as densidades é
.
b) A razão entre as vazões é
.
c) A altura do líquido no Tanque 2 deve estar
acima do furo.
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