Suponha que dois tanques, 1 e 2 , cada um com uma grande abertura no topo, contenham líquidos diferentes. Um pequeno furo é feito no lado de cada tanque na mesma profundidade abaixo da superfície do líquido, mas o furo no tanque 1 tem metade da área de seção transversal do tanque 2. (a) Qual é a razão entre as densidades dos líquidos se a vazão de massa é a mesma para os dois furos? (b) Qual é a razão entre as vazões dos dois tanques? © Em um dado instante, o líquido no tanque 1 está acima do furo. Se os tanques devem ter vazões iguais, a que altura acima do furo o líquido no tanque 2 deve estar neste instante?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos dois tanques, o Tanque 1 e o Tanque 2, cada um com líquidos diferentes. Em cada tanque, foi feito um pequeno furo a uma mesma profundidade abaixo da superfície do líquido. O furo no Tanque 1 tem metade da área de seção transversal do furo no Tanque 2. Precisamos responder três perguntas:
a) Qual é a razão entre as densidades dos líquidos ( ) se a vazão de massa é a mesma para os dois furos?
b) Qual é a razão entre as vazões dos dois tanques ( )?
c) Se o líquido no Tanque 1 está acima do furo, a que altura o líquido no Tanque 2 deve estar para que as vazões sejam iguais?
Para resolver, vamos precisar dos conceitos de tensão superficial, velocidade de escoamento dos fluidos e equações de continuidade. Vamos usar a equação de Torricelli para a velocidade de saída do líquido e a relação entre vazão de massa e densidade.

Passo 2

Parte a: Encontrar a razão entre as densidades ( )
Primeiro, lembramos que a vazão de massa ( ) é dada por:
Onde:
  • é a densidade do líquido,
  • é a área do furo,
  • é a velocidade do líquido saindo pelo furo.
A velocidade do líquido pode ser calculada usando a equação de Torricelli:
Onde:
  • é a aceleração da gravidade,
  • é a altura do líquido acima do furo.
Como a profundidade é a mesma para ambos os tanques, a velocidade será a mesma. Queremos que as vazões de massa sejam iguais:
Como é igual nos dois casos, podemos simplificar:
Sabemos que , então substituindo:
Dividindo ambos os lados por :
Portanto:

Passo 3

Parte b: Encontrar a razão entre as vazões ( )
A vazão volumétrica ( ) é dada por:
Usando a equação de Torricelli para :
Queremos encontrar a razão :
Se assumirmos que as profundidades são iguais ( ):
Então, a razão entre as vazões é .

Passo 4

Parte c: Determinar a altura quando
Queremos que as vazões de massa sejam iguais:
Usando a fórmula da vazão de massa:
Já sabemos que e . Substituindo:
Simplificando:
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Portanto, .

Resposta

a) A razão entre as densidades é .
b) A razão entre as vazões é .
c) A altura do líquido no Tanque 2 deve estar acima do furo.

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