Na Fig. 14-46, a água doce atrás de uma represa tem uma profundidade . Um tubo horizontal de de diâmetro passa através da represa na profundidade . Uma rolha fecha a abertura do tubo. (a) Encontre o módulo da força de atrito entre a rolha e a parede do tubo. (b) A rolha é removida. Que volume de água sai do cano em três horas?

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício fala sobre uma represa com água a uma profundidade de 15 metros e tem um tubo horizontal de 4,0 cm de diâmetro passando pela represa a 6,0 metros de profundidade. Uma rolha fecha esse tubo. Vamos precisar de conceitos de hidrostática, como pressão da água, força e atrito para resolver as duas partes do exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a), que pede para encontrar o módulo da força de atrito entre a rolha e a parede do tubo.

Passo 3

A pressão da água em um certo ponto depende da profundidade. A fórmula da pressão hidrostática é:
onde:
  • é a pressão,
  • é a densidade da água (aproximadamente ),
  • é a aceleração da gravidade ( ),
  • é a profundidade da água.

Passo 4

Mas como o tubo está a 6,0 metros de profundidade, a pressão exercida pela água na rolha é:

Passo 5

A força total exercida pela água na rolha é a pressão multiplicada pela área da rolha. A área de um círculo é:
onde é o raio do tubo. Como o diâmetro é 4,0 cm, o raio é 2,0 cm ou 0,02 m.

Passo 6

Então, a força é:

Passo 7

Essa força é a força de empuxo da água na rolha. A força de atrito que mantém a rolha no lugar é igual a essa força de empuxo, assumindo que está em equilíbrio.

Passo 8

Agora, vamos para a parte (b), que pergunta qual o volume de água que sai do cano em três horas quando a rolha é removida.

Passo 9

Quando a rolha é removida, a água começa a fluir devido à diferença de pressão. A velocidade da água pode ser encontrada usando a equação de Torricelli:
onde é a profundidade da água atrás da represa, que é 15 m.

Passo 10

Calculando a velocidade:

Passo 11

Agora, para encontrar o volume de água que sai em três horas, vamos primeiro converter o tempo para segundos:

Passo 12

A vazão é dada por:
onde é a área da seção do tubo e é a velocidade da água.

Passo 13

Já calculamos a área e , então:

Passo 14

O volume total em três horas é:

Resposta

(a) A força de atrito entre a rolha e a parede do tubo é aproximadamente .
(b) O volume de água que sai do cano em três horas é aproximadamente .

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