Na Fig. 14-46, a água doce atrás de uma represa tem uma profundidade D=15 m. Um tubo horizontal de 4,0 cm de diâmetro passa através da represa na profundidade d= 6,0 m. Uma rolha fecha a abertura do tubo. (a) Encontre o módulo da força de atrito entre a rolha e a parede do tubo. (b) A rolha é removida. Que volume de água sai do cano em três horas?

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício fala sobre uma represa com água a uma profundidade de 15 metros e tem um tubo horizontal de 4,0 cm de diâmetro passando pela represa a 6,0 metros de profundidade. Uma rolha fecha esse tubo. Vamos precisar de conceitos de hidrostática, como pressão da água, força e atrito para resolver as duas partes do exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a), que pede para encontrar o módulo da força de atrito entre a rolha e a parede do tubo.

Passo 3

A pressão da água em um certo ponto depende da profundidade. A fórmula da pressão hidrostática é:
P = rho cdot g cdot h
onde:
  • é a pressão,
  • é a densidade da água (aproximadamente ),
  • é a aceleração da gravidade ( ),
  • é a profundidade da água.

Passo 4

Mas como o tubo está a 6,0 metros de profundidade, a pressão exercida pela água na rolha é:
P = 1000 cdot 9,81 cdot 6,0 = 58860 , Pa

Passo 5

A força total exercida pela água na rolha é a pressão multiplicada pela área da rolha. A área A = pi cdot r^2 de um círculo é:
A = pi cdot (0,02)^2 = 0,001256 , m^2
onde é o raio do tubo. Como o diâmetro é 4,0 cm, o raio é 2,0 cm ou 0,02 m.

Passo 6

Então, a força F = P cdot A = 58860 cdot 0,001256 approx 74,0 , N é:

Passo 7

Essa força é a força de empuxo da água na rolha. A força de atrito f = F = 74,0 , N que mantém a rolha no lugar é igual a essa força de empuxo, assumindo que está em equilíbrio.

Passo 8

Agora, vamos para a parte (b), que pergunta qual o volume de água que sai do cano em três horas quando a rolha é removida.

Passo 9

Quando a rolha é removida, a água começa a fluir devido à diferença de pressão. A velocidade da água pode ser encontrada usando a equação de Torricelli:
v = raiz2 cdot g cdot h
onde é a profundidade da água atrás da represa, que é 15 m.

Passo 10

Calculando a velocidade:
v = raiz2 cdot 9,81 cdot 15 approx raiz294,3 approx 17,15 , m/s

Passo 11

Agora, para encontrar o volume de água que sai em três horas, vamos primeiro converter o tempo para segundos:
3 , horas = 3 cdot 3600 = 10800 , s

Passo 12

A vazão Q = A cdot v é dada por:
onde é a área da seção do tubo e é a velocidade da água.

Passo 13

Já calculamos a área Q = 0,001256 cdot 17,15 approx 0,02156 , m^3/s e , então:

Passo 14

O volume total V = Q cdot t = 0,02156 cdot 10800 approx 232,75 , m^3 em três horas é:

Resposta

(a) A força de atrito entre a rolha e a parede do tubo é aproximadamente .
(b) O volume de água que sai do cano em três horas é aproximadamente .

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