Na Fig. 14-46, a água doce atrás de uma represa tem uma profundidade
. Um tubo horizontal de
de diâmetro passa através da represa na profundidade
. Uma rolha fecha a abertura do tubo. (a) Encontre o módulo da força de atrito entre a rolha e a parede do tubo. (b) A rolha é removida. Que volume de água sai do cano em três horas?
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício fala sobre uma represa com água a uma profundidade de 15 metros e tem um tubo horizontal de 4,0 cm de diâmetro passando pela represa a 6,0 metros de profundidade. Uma rolha fecha esse tubo. Vamos precisar de conceitos de hidrostática, como pressão da água, força e atrito para resolver as duas partes do exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte (a), que pede para encontrar o módulo da força de atrito entre a rolha e a parede do tubo.
Passo 3
A pressão da água em um certo ponto depende da profundidade. A fórmula da pressão hidrostática é:
onde:
-
é a pressão, -
é a densidade da água (aproximadamente ), -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a profundidade da água.
Passo 4
Mas como o tubo está a 6,0 metros de profundidade, a pressão exercida pela água na rolha é:
Passo 5
A força total exercida pela água na rolha é a pressão multiplicada pela área da rolha. A área
de um círculo é:
onde
é o raio do tubo. Como o diâmetro é 4,0 cm, o raio é 2,0 cm ou 0,02 m.
Passo 6
Então, a força
é:
Passo 7
Essa força é a força de empuxo da água na rolha. A força de atrito
que mantém a rolha no lugar é igual a essa força de empuxo, assumindo que está em equilíbrio.
Passo 8
Agora, vamos para a parte (b), que pergunta qual o volume de água que sai do cano em três horas quando a rolha é removida.
Passo 9
Quando a rolha é removida, a água começa a fluir devido à diferença de pressão. A velocidade da água pode ser encontrada usando a equação de Torricelli:
onde
é a profundidade da água atrás da represa, que é 15 m.
Passo 10
Calculando a velocidade:
Passo 11
Agora, para encontrar o volume de água que sai em três horas, vamos primeiro converter o tempo para segundos:
Passo 12
A vazão
é dada por:
onde
é a área da seção do tubo e
é a velocidade da água.
Passo 13
Já calculamos a área
e
, então:
Passo 14
O volume total
em três horas é:
Resposta
(a) A força de atrito entre a rolha e a parede do tubo é aproximadamente
.
(b) O volume de água que sai do cano em três horas é aproximadamente
.