Um tanque, com volume de 0,4 m^3, contém ar comprimido. Uma válvula é aberta e o ar escapa com velocidade de 250 m / s através de uma abertura de 100 mm^2 de área. A temperatura do ar passando pela abertura é igual a -20^circ C e a pressão absoluta é 300 kPa . Determine a taxa de variação da massa específica do ar no tanque nesse instante.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um tanque de 0,4 m³ cheio de ar comprimido. Uma válvula é aberta e o ar sai com uma velocidade de 250 m/s por uma abertura de 100 mm². A temperatura do ar que sai é -20°C e a pressão absoluta é 300 kPa. A gente precisa descobrir como está mudando a densidade do ar dentro do tanque naquele momento.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de fluxo de massa e densidade. Precisamos calcular a taxa de saída da massa do ar e ver como isso afeta a densidade no tanque.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o sistema internacional para facilitar os cálculos.
  • Área da abertura: 100 mm² = m² =
  • Temperatura: -20°C = 273,15 - 20 = 253,15 K

Passo 3

Vamos calcular a densidade do ar que está saindo pela abertura. Usamos a equação dos gases ideais:
rho = PR cdot T
Onde:
  • rho = 300 times 10^3287 times 253,15 approx 30000072634,05 approx 4,13 , kg/m³ Pa (300 kPa)
  • J/(kg·K) (constante específica do ar)
  • K
Então,
³

Passo 4

Agora, calculamos a taxa de fluxo de massa que está saindo do tanque:
dotm = rho cdot v cdot A
Onde:
  • dotm = 4,13 times 250 times 1 times 10^-4 = 4,13 times 0,025 = 0,10325 , kg/s kg/m³
  • m/s
Então,

Passo 5

A taxa de variação da massa no tanque é negativa porque a massa está saindo:
dmdt = -dotm = -0,10325 , kg/s
Como queremos a taxa de variação da densidade ( m = rho cdot V Rightarrow dmdt = V cdot drhodt ), usamos a relação entre massa e densidade:
drhodt = 1V cdot dmdt = -0,103250,4 = -0,258125 , kg/(m³s)
Isolando :
³

Resposta

A taxa de variação da massa específica do ar no tanque é aproximadamente ³.

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