Um tanque de volume fixo contém salmoura com massa específica inicial, rhoi, maior que a da água. Água pura entra no tanque em regime permanente e misturasse perfeitamente com a salmoura. O nivel do liquido no tanque permanece constante. Deduza expressões para (a) a taxa de variação da massa especifica da mistura liquida no tanque, e (b) o tempo requerido para que a massa especifica dessa mistura atinja o valor rhoi, sendo rhoi>rhoC>rhoH: O.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um tanque que contém salmoura com uma densidade inicial rhoi, maior que a da água. Água pura está entrando no tanque de forma constante e se mistura perfeitamente com a salmoura. O nível do líquido no tanque não muda. Vamos precisar usar conceitos de balanceamento de massa e mistura contínua para resolver as duas partes do exercício: (a) encontrar a taxa de variação da densidade da mistura e (b) determinar o tempo necessário para que a densidade da mistura atinja um valor específico rhoC.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a). Queremos achar a taxa de variação da densidade da mistura no tanque. Para isso, vamos considerar o balanceamento de massa.
A taxa de entrada de água pura é constante, e como o volume do tanque é fixo, a taxa de saída também será constante. A densidade da água pura é rhoH = 1000 , kg/m^3.
Vamos chamar de rho(t) a densidade da mistura no tempo t. A mudança na massa da mistura no tanque será a diferença entre a massa que entra e a massa que sai.
A equação básica do balanceamento de massa fica:
d(rho V)dt = massa que entra - massa que sai
Como o volume V é constante:
V drhodt = Q rhoH - Q rho(t)
Onde Q é a vazão de entrada (e saída) de água.

Passo 3

Simplificando a equação:
V drhodt = Q (rhoH - rho(t))
Dividindo ambos os lados por V:
drhodt = QV (rhoH - rho(t))
Então, essa é a expressão para a taxa de variação da densidade da mistura no tanque.

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b). Queremos encontrar o tempo necessário para que a densidade da mistura atinja rhoC. A equação diferencial que temos é:
drhodt = QV (rhoH - rho(t))
Essa é uma equação linear de primeira ordem e pode ser resolvida aplicando o método do fator integrante ou reconhecendo que é uma equação de decaimento exponencial.
A solução geral dessa equação é:
rho(t) = rhoH + (rhoi - rhoH) e^-QV t
Queremos que rho(t) = rhoC, então:
rhoC = rhoH + (rhoi - rhoH) e^-QV t
Isolando e^-QV t:
e^-QV t = rhoC - rhoHrhoi - rhoH
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
-QV t = ln( rhoC - rhoHrhoi - rhoH )
Finalmente, resolvendo para t:
t = -VQ ln( rhoC - rhoHrhoi - rhoH )

Resposta

O tempo requerido para que a massa específica da mistura atinja rhoC é:
t = -VQ ln( rhoC - rhoHrhoi - rhoH )

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