Um tanque de volume fixo contém salmoura com massa específica inicial,
, maior que a da água. Água pura entra no tanque em regime permanente e misturasse perfeitamente com a salmoura. O nivel do liquido no tanque permanece constante. Deduza expressões para (a) a taxa de variação da massa especifica da mistura liquida no tanque, e (b) o tempo requerido para que a massa especifica dessa mistura atinja o valor
, sendo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um tanque que contém salmoura com uma densidade inicial
, maior que a da água. Água pura está entrando no tanque de forma constante e se mistura perfeitamente com a salmoura. O nível do líquido no tanque não muda. Vamos precisar usar conceitos de balanceamento de massa e mistura contínua para resolver as duas partes do exercício: (a) encontrar a taxa de variação da densidade da mistura e (b) determinar o tempo necessário para que a densidade da mistura atinja um valor específico
.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte (a). Queremos achar a taxa de variação da densidade da mistura no tanque. Para isso, vamos considerar o balanceamento de massa.
A taxa de entrada de água pura é constante, e como o volume do tanque é fixo, a taxa de saída também será constante. A densidade da água pura é
.
Vamos chamar de
a densidade da mistura no tempo
. A mudança na massa da mistura no tanque será a diferença entre a massa que entra e a massa que sai.
A equação básica do balanceamento de massa fica:
Como o volume
é constante:
Onde
é a vazão de entrada (e saída) de água.
Passo 3
Simplificando a equação:
Dividindo ambos os lados por
:
Então, essa é a expressão para a taxa de variação da densidade da mistura no tanque.
Passo 4
Agora, vamos para a parte (b). Queremos encontrar o tempo necessário para que a densidade da mistura atinja
. A equação diferencial que temos é:
Essa é uma equação linear de primeira ordem e pode ser resolvida aplicando o método do fator integrante ou reconhecendo que é uma equação de decaimento exponencial.
A solução geral dessa equação é:
Queremos que
, então:
Isolando
:
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
Finalmente, resolvendo para
:
Resposta
O tempo requerido para que a massa específica da mistura atinja
é:
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Resp.: 0,022